halliday

uma sala tem 5m de comp 4m de larg e 3m de altura. uma mosca parte do chão, de um canto da sala, voa para o teto e pousa no canto diagonalmente oposto. a) qual é o módulo de deslocamento da mosca?b)a distância percorrida pela mosca pode ser menor do que esse valor?maior do que ele?igual a ele?c)escolha um sistemade coordenadas apropriado e calcule as componentes do vetor deslocamento neste sistema.d)se a mosca decide andar e não voar qual a menor distancia que ela tera que percorre?

=== Letra C - sistema de coordenadas apropriado ===

Origem (0,0,0) : ponto de partida da mosca
Eixo X : comprimento da sala
Eixo Y : largura da sala
Eixo Z : altura da sala

Vetor deslocamento da mosca = destino - origem
Ð = (5, 4, 3) - (0, 0, 0) = (5, 4, 3)

=== Letra A - módulo de deslocamento da mosca ===

|Ð| = |(5, 4, 3)| = √(5² + 4² + 3²) = √50 = 5√2
|Ð| ≈ 7,0711m

=== Letra B - distância percorrida ===

|Ð| representa a distância em linha reta entre os cantos diagonalmente opostos da sala. Portanto, a distância voada pela mosca pode ser igual ou maior a esse valor. Nunca menor, já que ele é o mínimo.

=== Letra D - menor distância percorrida caminhando ===

Se a mosca for voando, poderá seguir pela diagonal.
Mas se for caminhando, terá de caminha pelo chão, paredes ou teto da sala. Em termos do nosso sistema de coordenadas, os planos z=0 (chão), z=3 (teto), x=0 ou 5 e y=0 ou 4 (paredes). O maior caminho (com x, y e z crescentes) é o seguinte: do ponto (0, 0, 0) ao (5, 0, 0) ao (5, 4, 0) ao (5, 4, 3).

Caminhos mais curtos podem feitos com duas diagonais. É portanto necessário escolher um ponto intermediário em um dos eixos. As possibilidades são (as fórmulas fornecem a distância percorrida):
1) S(x) = √(3² + x²) + √(4² + (5-x)²)
2) S(y) = √(3² + y²) + √(5² + (4-y)²)
3) S(z) = √(4² + z²) + √(5² + (3-z)²)

É possível encontrar S mínimo calculando a derivada e igualando a zero:
1) S(x) para x | dS/dx = 0
2) S(y) para y |