Gsgsgs

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 77 (19040 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 11 de julho de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Prof

Cálculo Diferencial e Integral

AULA 01 1 - FUNÇÕES
1.1 - Conceito matemático de função
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Definição 2:Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos.Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B . (Eq.1)

A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.

Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a qualquersubconjunto de A × B . (Eq.2)

r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .

Exemplo: Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r . Como x ∈ A : x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;

x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ; x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ; x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B . Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

A0 1 2 3

r

0 B 2 4 6 8 10

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 x

[Fig.1]: Representação da relação por diagrama.

[Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.

1

Cálculo Diferencial e Integral

Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares ( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei deassociação (no caso, y =2 x ).

1.2 - Definição de função

A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B . Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua
resposta e apresente o diagrama da relação.Exemplos: 1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .

Definição 5: Sejam

A 0 5 15
x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ; x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ; x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .
• Todos os elementos de • A cada elemento de

0 B 5 10 15 20 25

A estão associados a elementos de B .

A está associado umúnico elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .

2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .

A -2 0 2 5
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ; x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A × B ; x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A × B .
• O elemento −2 de

B 0 2 5 10 20

A não estáassociado a nenhum elemento de B . A em B não é uma função de A em B .

Neste caso, a relação de

2

Cálculo Diferencial e Integral

3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
2

A -3 -1 1 3
x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ; x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ; x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A × B ; x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A× B .

B 1 3 6 9

• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B . • A cada elemento de

A está associado um único elemento de B . A em B expressa pela fórmula y = x 2 é uma função de A em B .

Neste caso, a relação de

4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
4

A 16

-2 2

B

81...
tracking img