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Funções racionais e funções periódicas



Trabalho realizado por: Fábio Matos n.9
Trabalho realizado por: Fábio Matos n.9


Introdução

Neste trabalho pretendo adquirir informações e conhecimentos sobre as funções racionais e as funções periódicas. Nas funções racionais os polinómiospodem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional f (x)  é do tipo f(x) = n(x) / d(x). Nas funções periódicas uma função diz-se periódica se se repete ao longo davariável independente com um determinado período constante. Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.

Módulo IV: funções periódicas
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Definição de função real periódica
Um função  é dita periódicade período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que  para todo x real.
Observe que se uma função tem período T então  para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT.
A função constante  é T-periódica para qualquer T .
O conjunto dos períodos de uma função , , pode ser vazio, discreto ou denso em . Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se fordiscreto então pode ser escrito na forma  onde  é um real positivo, chamado de período fundamental.
Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em  é a função indicadora de  em , definida como:
*

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Propriedades de funções reais periódicas
O conjunto das funções periódicas de um certo período  formam uma álgebra, ou seja,se  e  são T-periódicas, então:
i)  é T-periódica
ii)  é T-periódica para todo  real
iii)  é T-periódica
possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:
iv)  é T-periódica
O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:
 e  são periódicas com período  e , respectivamente. No entanto  éaperiódica.
Se uma função  é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

Para toda função real periódica com período fundamental , definimos a sua frequência  e sua velocidade angular  como:
*  e
*

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Funções Complexas Duplamente Periódicas
Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ouseja:
 números complexos cuja razão não é um número real.
As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.
funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos  e  linearmente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmente limitadas.




Módulo V: funções racionais
Os polinómios podem ser, evidentemente,multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional  f(x) é do tipo
f(x) = n(x) / d(x),
onde  n(x) e d(x) são polinómios. Se o denominador  d (x) for uma constante não nula, esse quociente será elepróprio um polinómio. Assim, os polinómios estão incluídos entre as funções racionais.
Evidentemente, nos pontos onde  d(x) = 0 a função f não está definida e, portanto, o maior domínio possível de uma função racional é constituído pelo conjunto dos números reais exceptuando-se esses pontos. Os zeros de  d(x) são chamados pólos ou pontos singulares da função f .
Como os polinómios, as funções...
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