Green

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 15 (3661 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 17 de março de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
Capítulo 6

TEOREMA DE GREEN
Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que
formulados rigorosamente fogem dos objetivos destas notas.

Definição 6.1. Uma região fechada e limitada D ⊂ R2 é simples se ∂D = C é uma curva fechada
simples.

C
C

D

DFigura 6.1: A região à esquerda não é simples; a da direita é simples..
Notamos que, em geral, uma região simples pode ser bastante "complicada".
A seguir daremos a idéia intuitiva (imprecisa) de como orientar a curva ∂D

Definição 6.2. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário.
(D fica à esquerda, ao se percorrer ∂D = C ).
143

CAPÍTULO 6. TEOREMA DEGREEN

144

D

D



C+

C

Figura 6.2: Regiões orientadas.
Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, D uma região simples, C = ∂D orientada
positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções
coordenadas (F1 , F2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada
positivamente em relação a D, então:
F=D

∂D

∂ F2 ∂F1

dx dy
∂x
∂y

Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares.
Corolário 6.2. Nas hipóteses do teorema de Green, se F é um campo conservativo, então
F =0
∂D

A prova segue diretamente do teorema de Green.
Corolário 6.3. Nas hipóteses do teorema de Green, a área da região D é dada por:
x dy

A(D) =
∂Dou
ii)A(D) = −

y dx
∂D

ou
A(D) =

1
2

∂D

x dy − y dx

Prova: Basta considerar o campo F (x, y ) = (−y, x) e aplicar o teorema de Green para obter:
A(D) =

1
2

∂D

x dy − y dx.

145
Exemplo 6.1.
[1] Utilizando o teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:


1.

y dx +



x dy , onde γ é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e aparábola y = x2 , no

γ

sentido anti-horário.
2.
γ

y dx + x2 dy , onde γ é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e 2 y − x = 0, no sentido

anti-horário.
1. F1 (x, y ) =


11
1
∂F2 ∂F1

√ − √ ; então,
y e F2 (x, y ) = x; logo:

=
∂x
∂y
2
y
x




y dx +

x dy =

γ

1
2

D

1
1
√ − √ dx dy,
y
x

onde D é a região de tipo I: D = {(x, y ) ∈ R2 / 0 ≤ x≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }.
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 6.3: Exemplo [1].

1
2

D

1
1
1
√ − √ dx dy =
y
2
x


Logo:
γ

y dx +



x dy = −

x2

1
0

0

1

1
1
1
( √ − √ ) dy dx =
y
2
x

0

3
.
10

2. F1 (x, y ) = y e F2 (x, y ) = x2 ; logo:

∂F2 ∂F1

= 2 x − 1; então,
∂x
∂y

y dx + x2 dy =
γ

D(2 x − 1) dx dy,

onde D é a região de tipo I: D = {(x, y ) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

x
}.
2

3

x 2 − 2 x dx = −

3
.
10

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE GREEN

146
2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 6.4: Exemplo [2].
Logo,
x
2

2
2

y dx + x dy =
D

γ

(2 x − 1) dx dy =

0

0

2

(2 x − 1) dy dx =

0

(x2 −

5
x
) dx = .
2
3ex sen(y ) dx + (ex cos(y ) + x) dy , onde γ é o círculo de raio 1 centrado na origem,

[2] Calcule
γ

no primeiro e segundo quadrantes.
γ

1

Figura 6.5: Exemplo [2]
O teorema de Green não pode ser aplicado, pois a curva não é fronteira de uma região fechada.
Para poder aplicar o teorema de Green, consideramos a seguinte curva β = γ ∪ γ1 , diferenciável
por partes, orientada nosentido anti-hórario, como no seguinte desenho:

Figura 6.6:

147
A região D é tal que ∂D = β . Aplicamos o teorema de Green considerando a curva β .
Sejam F1 (x, y ) = ex sen(y ) e F2 (x, y ) = ex cos(y ) + x; logo,

∂F2 ∂F1

= 1; então:
∂x
∂y

ex sen(y ) dx + (ex cos(y ) + x) dy =

dx dy = A(D),
D

β

onde A(D) =

π
é a área do semi-círculo de raio 1. Por outro lado:...
tracking img