Geometria

11ºano – Matemática A

Intersecção de três planos
Estudar a intersecção de dois ou três planos equivale a resolver e classificar sistemas de duas ou três equações do tipo ax + by + cz + d = 0.

Sistemas
Possíveis

Impossíveis

Determinado

Indeterminado

Teresa Dias

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Intersecção: Conjunto vazio I. Se os três planos são estritamente paralelos Por exemplo:

Os planos 1, 2 e 3 são estritamente paralelos, pois o vector normal a cada um dos planos é o mesmo: (1, 3, -1) Os planos não se intersectam. Logo: O sistema é impossível

Teresa Dias

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II. Se dois planos são coincidentes e o terceiro é estritamente paralelo.

Por exemplo:

Os planos 2 e 3 são coincidentes, pois as equações que os definem são equivalentes. O plano 1 é estritamente paralelo aos outros dois planos. O vector (1, 3, -1) é normal aos três planos Os três planos não se intersectam. Logo: O sistema é impossível
Teresa Dias

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III. No máximo, os três planos intersectam-se dois a dois, segundo rectas paralelas Por exemplo:

Os planos 1 e 2 são estritamente paralelos, pois o vector (1, 3, -1) é normal aos dois planos
O plano 3 intersecta os outros dois planos Nota: O vector (0, 1, 3) é normal a 3 e é perpendicular ao vector normal (1, 3, -1) dos outros dois planos. Logo, 3 é perpendicular a 1 e a 2. O sistema é impossível Prove que o sistema é impossível
Teresa Dias

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Intersecção: Um plano IV. Os três planos são coincidentes (as equações que os definem são equivalentes) Por exemplo:

Os planos 1, 2 e 3 são coincidentes, pois as equações que os definem são equivalentes. Logo: O sistema é possível e indeterminado

Teresa Dias

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Intersecção: Uma recta V. Os três planos são concorrentes segundo a mesma recta Por exemplo:

O sistema é possível e indeterminado Os três planos intersectam-se segundo a recta