Geometria

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UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Departamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTE Nº1 de GEOMETRIA II Duração: 1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

1. (25 pontos) Mostre que, no Plano Euclidiano ℛ , duas rectas sse têm a mesma direcção; RESOLUÇÃO

e são paralelas

Sejam e duas rectas do plano euclidiano ℛ , com direcção respectivamente. Mostrarque: ∥ sse
ª

e

,

Vai mostrar-se a segunda parte e a partir daí concluir a primeira. ≠ (1) Se ∦ ⇒ Com efeito, se ∦ , então e incidem num ponto, diga-se . Logo = + e = + , consequentemente, ≠ , pois, caso contrário, seria igual a . ≠ (2) Se ⇒ ∦ forma uma base. Sejam: Como ≠ , então não é proporcional a , logo , = + e = + , com ≠ , caso contrário, ter-se-ia ∦ , o pretendido. Sendo assim, − =+ , para algum ∈ ℝ e algum ∈ ℝ, pois , é uma base de ℝ . Tem-se, então: − = + ⇔ − , = + o que significa que e incidem no ponto 1.1 (20 pontos) Mostre que o plano euclidiano ℛ − que é um plano afim − satisfaz o axioma do plano afim: “Por toda linha e todo ponto não incidente com existe uma e uma só linha que incide com e é paralela a ”. RESOLUÇÃO Seja uma linha com direcção e um ponto nãoincidente com . Existência: A recta = + é paralela a , pois tem a mesma direcção. Unicidade: Qualquer recta paralela a e que incide com é igual a , pois . = +


=



∦ sse
ª



=





=

+

, logo ∦ .

HORTA, JCL

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UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Departamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTE Nº1 de GEOMETRIA II Duração:1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

2. (30 pontos) Considere o plano de incidência de Moulton. O suporte é ℝ , mas as linhas são de três tipos diferentes, definidas por equações da forma: = (linhas rectas verticais de ℛ ); = + , com , ∈ ℝ, ≤ 0 (linhas rectas de ℛ com declive negativo ou nulo) e = 2 + + ≤0 >0 com , ∈ ℝ, > 0 (linhas quebradas).

Determine e represente graficamente aslinhas determinadas pelos pontos = (1, −1), = (−1, −6) e = (1, −6). RESOLUÇÃO Como o plano é afim, então dois pontos determinam uma e uma só linha. Assim: → e determinam a linha quebrada definida em ℛ pela equação: 10 8 − ≤0 3 3 = 5 8 − >0 3 3 Pois os pontos e determinam no plano euclidiano uma linha de declive positivo, logo a linha quebrada que passa por e satisfaz a condição: −6 = − + 10 ⇒ −6+ = −1 − ⇔ −12 + 2 = −2 − ⇔ = −1 = + 3 2 2 Logo: 8 =− 3 → e determinam a linha vertical definida em ℛ pela equação: =1 → e R determinam a linha horizontal definida em ℛ pela equação: = −6 A representação gráfica encontra-se no inicio da página seguinte.

HORTA, JCL

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UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Departamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTENº1 de GEOMETRIA II Duração: 1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

3. (30 pontos) Seja o plano projectivo = ( , ℒ, ), conjunto das linhas e a relação de incidência. Seja = ∖ ∈ :( , ) ∈ ; ℒ = ℒ ∖ e = ∖ Prove que = ( , ℒ , ) satisfaz os axiomas e RESOLUÇÃO → Vai mostrar-se que satisfaz o axioma

onde é o suporte, ℒ o ∈ ℒ. Defina-se: ( , ): ∈ . do plano afim.

Como é um planoprojectivo, então satisfaz o axioma ℙ = , isto é: ∀ , ∈ existe uma e uma só linha ∈ ℒ: ( , ), ( , ) ∈ . Logo, ∀ , ∈ , existe uma e uma só linha ∈ ℒ tal que, ( , ), ( , ) ∈ , pois , também pertencem a . Como ≠ , pois os pontos de não incidem com , por definição de , então ∈ ℒ , e é única porque ℒ ⊂ ℒ, e ( , ), ( , ) ∈ .
HORTA, JCL

do plano afim.

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UNIVERSIDADE DE CABO VERDEDepartamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTE Nº1 de GEOMETRIA II Duração: 1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

Assim sendo satisfaz o axioma do plano afim, isto é: ∀ , ∈ existe uma e uma só linha ∈ ℒ que incide com → Vai mostrar-se que satisfaz o axioma

e

.

Sejam ∈ ℒ , ∈ tais que ( , ) ∉ . Como ∈ ℒ, porque ℒ ⊂ ℒ, então incide com num...
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