Geometria espacial

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Geometria Espacial
 
Conceitos primitivos
     São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
* pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

* retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

   
* planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é oconjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
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Axiomas
      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.
 
Postulados sobre pontos e retas
P1)Areta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
                                      
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

 
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P6) O plano é infinito, istoé, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.
 
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
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 Temos queconsiderar dois casos particulares:
* retas perpendiculares:

*  retas ortogonais:
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Postulado de Euclides ou das retas paralelas   
P10) Dados uma reta  r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:      
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Determinação de um plano
              Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passapor três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
* uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

                                                                                 
* duas retas distintas concorrentes:

                                                                                     
* duas retas paralelas distintas:

 
Posiçõesrelativas de reta e plano
      Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
     Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:
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b) reta concorrente ou incidente ao plano
    Dizemos que a reta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passampelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
    Se uma reta r e um plano não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano ; portanto, r //

Em existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.
   
Perpendicularismo entrereta e plano
         Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que:
* se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

* para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes,contidas em :
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Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:
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Posições relativas de dois planos
          Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes
     Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:
|...
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