Geometria das massas

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CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS
1 –CENTRÓIDES E BARICENTROS 1.1 – Introdução
Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a forçaconcentrada num ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de matéria homogênea em torno de si. Terá importância também a determinação de um ponto de uma superfície e não somente de um corpo tridimensional que terá uma distribuição homogênea de área em torno de si. A este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade – CG). Demonstra-se que as coordenadasdeste ponto serão obtidas, no caso geral, tomando-se um elemento de área dA e partindo do centróide deste elemento (xel; yel) fazemos a integração em toda a área A.

y yel

y xel x x

28

As coordenadas deste ponto serão:
__

∫ x el ⋅ dA x= ∫ dA

__

y=

∫ y el ⋅ dA ∫ dA

A integral

∫ x dA

é conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou Momento

Estático de Área emrelação ao eixo y. Analogamente, a integral

∫ y dA define o Momento

Estático de 1a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x.

1.2 – Determinação do Centróide a – Por Integração
Escolha do elemento de área – pode-se escolher qualquer elemento de área para o cálculo do CG. A resolução da maior parte dos problemas será possível com elemento de área em forma de uma faixa retangularou um setor circular. Ex.: Retângulo y

dx

h

xel b

x

29

__

x=

∫ x el ⋅ dA ∫ dA
b b

xel = x
x2 h⋅ 2 h⋅x
b

e

dA = y ⋅ dx

__

∫ x ⋅ y ⋅ dx ∫ x ⋅ h ⋅ dx
0 b

x=

=

0 b

=

∫ y ⋅ dx
0

∫ h ⋅ dx
0

0 b 0

__ b b2 1 = ⋅ → x= 2 2 b

y

dy

h yel

x b

__

y=

∫ y el ⋅ dA ∫ dA
h h

yel = y
y2 b⋅ 2 b⋅ y 0
h h

e

dA = x ⋅ dy__

∫ y ⋅ x ⋅ dy ∫ y ⋅ b ⋅ dy
0 h

y=

=

0 h

=

0

∫ x ⋅ dy
0

∫ b ⋅ dy
0

__ h h2 1 = ⋅ → y= 2 2 h

Portanto, para o retângulo temos: 30

y b/2 b/2

h/2

h CG h/2

x

b

A partir destes resultados, toda vez que utilizarmos um elemento de área em forma de faixa retangular colocaremos:

x el =

b 2

e

x el =

b 2

b – Por Composição de FigurasMuitas figuras são resultantes de soma ou diferença de outras figuras conhecidas e para estas há um segundo método para se determinar o CG. Ex.: y 120mm

100mm

60mm x 31

Notamos que a figura resultante pode ser obtida pela soma de um retângulo com um triângulo ou pela diferença de um outro retângulo e um triângulo. Faremos a opção pela soma. Observamos que o CG de cada figura (retângulo etriângulo) já são conhecidos, pois foram obtidos por integração. Contudo, Estas coordenadas devem ser tomadas em relação à origem do sistema dado. Como trata-se de soma de figuras conhecidas, as integrais

∫ x el dA , ∫ y el dA

e

∫ dA se tornam ∑ x A , ∑ y A e ∑ A .
__ __ __ __

__

__

Figura Retângulo Triângulo

x
60 40

y
110 40

A 12000 3600 15600

xA
720000 144000864000

yA
1320000 144000 1464000



__

x=∑

__

x A 864000 = = 55,38mm A 15600 ∑

__

y=∑

__

y A 1464000 = = 93,85mm A 15600 ∑

1.3 – Aplicações do Cálculo do CG
Teoremas de Pappus-Guldinus: para a aplicação dos teoremas torna-se necessário definirmos: Superfície de revolução: é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo dado.Curva plana (reta)

Superfície de revolução – casca do cone

Corpo de revolução: é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eixo fixo.

32

Área plana (triângulo)

Corpo (cone)

Teorema I: a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a...
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