Geometria analítica

Geometria analítica, plano cartesiano, distância e reta
Estudada através do plano cartesiano e dos princípios da álgebra e da análise, a geometria analítica contrasta com a abordagem da geometria plana.
A geometria analítica também é conhecida como geometria de coordenadas e geometria cartesiana. Ela é estudada através dos princípios da álgebra e da análise, contrastando com a abordagem sintética da geometria euclidiana (plana), na qual certas noções são consideradas primitivas.
É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas, através do plano cartesiano, o que torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes na álgebra, e vice-versa. Isso quer dizer que os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro.
Esta geometria é muito importante para as áreas da física e da engenharia, e é fundamental nas mais modernas geometrias, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
Agora vamos ver um pouquinho desse mundo tão útil e encantador!
Distância entre Dois Pontos
Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a distância d entre A e B, no plano cartesiano, é dada por:

Ponto Médio
Dados os pontos A(1, y1) e B(x2, y2), as coordenadas do ponto médio do segmento AB são:

Teorema: Condição para o Alinhamento de Três Pontos
Os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são colineares no plano cartesiano. Se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a igualdade, temos que:
Equação Geral da Reta
Sabendo que uma reta r passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) do plano cartesiano, sua equação é dada pelo seguinte determinante:

Desenvolvendo o determinante:

Teorema
Toda equação da forma ax + by + c = 0, com a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ou b ≠ 0, está associada a uma única reta r no plano cartesiano, cujos pontos P(x, y)