Geometria Analítica

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO – IFES/CAMPUS PIÚMA

Natália Carriço
Luciano Almeida
Tharllei Camargos

TRABALHO DE GEOMETRIA ANALÍTICA

Março, 2015

Natália Carriço
Luciano Almeida
Tharllei Camargos

TRABALHO DE GEOMETRIA ANALÍTICA

Trabalho de geometria analítica sobre: Quádricas, exemplos e características.
Professor: Humberto Silveira Gonçalves Filho

Março, 2015
INTRODUÇÃO
Superfícies Quádricas
Sabemos que o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ R 2 que satisfazem a equação geral do segundo grau nas variáveis x e y é uma seção cônica: parábola, elipse, hipérbole ou alguma forma degenerada dessas curvas, como um ponto ou um par de retas. Em R 3 , a equação geral do segundo grau nas variáveis x, y e z é F(x, y, z) = 0, onde: F(x, y, z) = A x2 + B y2 + C z2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J, onde os coeficientes dos termos de segundo grau não são todos nulos, de modo que o grau da equação é 2. O subconjunto Q ⊂ R 3 , definido por: Q = {(x, y, z) ∈ R 3 / F(x, y, z) = 0} é chamado superfície quádrica ou quádrica central. Usando rotações e translações é possível mostrar que existem os seguintes tipos de superfícies quádricas não degeneradas:
1) Elipsóides.
2) Hiperbolóide elítico ou de uma folha 3) Hiperbolóide de duas folhas.
4) Parabolóide elítico.
5) Parabolóide hiperbólico.

DESENVOLVIMENTO
QUÁDRICAS: O Elipsóide
A equação-padrão do elipsóide é:

Sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. Estes parâmetros são os semi-eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide pelos planos coordenados z = 0, y = 0 e x = 0, respectivamente, dadas pelas equações.

Estas três elipses aparecem nas cores vermelho azul e verde nas figuras a seguir: à esquerda aparecem as três elipses no elipsóide transparente e à direita aparecem (partes d)as mesmas elipses no mesmo elipsóide, agora pintado de marrom.

É fácil obter os cortes do elipsóide com