geometria analitica

Questão de Geometria Analitica - Vetor combinação linear?
Sendo u = (1,-1, 3), v = (2, 1, 3) e w = (-1,-1,4), verifique se u é combinação linear de v e w, e determine a tripla de coordenadas de:
a) u +v
b) u - 2v
c) u + 3v - 2w

Para verificar se u é combinação linear de v e w, basta analisar se há a e b tal que:

u = av + bw

(1,-1, 3) = a(2, 1, 3) + b(-1,-1,4)

(1,-1, 3) = (2a-b, a-b, 3a+4b)

(1) 2a - b = 1
(2) a-b = -1
(3) 3a + 4b = 3

Resolvendo este sistema, você não encontrará a e b tal que as equações (1), (2) e (3) são satisfeitas ao mesmo tempo. Portanto, u não é combinação linear de v e w.

obs: as letras a), b) e c) já foram resolvidas pela menina ai em cima.
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as coordenadas são disposta por (x,y,z) então vc soma ou subtrai x por x, y por y e z por z

a) (1+2, -1+1, 3+3) = (3, 0, 6)

b) (1 - 2x2, -1 - 2x1, 3 - 2x3) = (-3, -3, -3)

c) ( 1 + 3x2 - 2x-1, -1 + 3x1 - 2x-1, 3 + 3x1 - 2x4) = (9, 4, -2)

Calcular n de modo que seja 30° o angulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j .?

u.j = |u|*| j |*cos 30º

O vetor j tem cordenadas (0, 1, 0)

u.j = (1, n, 2).(0, 1, 0)
u.j = n

|u| = √[(1)² +(n)² +(2)²]
|u| = √[n² +5]

| j | = 1

cos 30º = (√3)/2

Subisituindo os dados:

u.j = n
|u| = √[n² +5]
| j | = 1 cos 30º = (√3)/2

u.j = |u|*| j |*cos 30º n = √[n² +5] *1 *(√3)/2
2n = √3[n² +5]
(2n)² = 3[n² +5]
4n² = 3n³ +15 n² = 15 n = ±√15

Subistituindo n por √15

u.j = √15
|u| = √[(√15)² +5] = 2√5
| j | = 1 cos 30º = (√3)/2

√15 = 2√5 * 1 *(√3)/2
2√15 = 2√(5*3)
2√15 = 2√15 verdade

Subistituindo n por -√15

u.j = -√15
|u| = √[(-√15)² +5] = 2√5
| j | = 1 cos 30º = (√3)/2

-√15 = 2√5 * 1 *(√3)/2
-2√15 = 2√(5*3)
-2√15 = 2√15 falso (-2√15 ≠ 2√15)

Logo podemos afirmar que n = √15 cos Ø = (1 x 0 + n x1 + 2x