Geometria analitica

GUIDG.COM – PG. 1

27/7/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos - Vetores
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.
* Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT.

Pg.92, exercício 38: jj jj jj jj jj jj j j j j j j jj jj jj Calcular o módulo dos vetores k + k e k@k, sabendo que | k | = 4, | k | = 3 e o ângulo entre k e k é de uvuv u v uv
60º.
Solução: jj jj jj jj jj jj
O exercício pede | k + k | e | k@k | , e para isso devemos lembrar de três conceitos: uv uv
I) Ângulo entre dois vetores: kk jj jj jj uA v fffffff ffffff ffffff ffffff cos θ = k k jj jj jj | u |A | v |

II) Fatoração, quadrado perfeito: k k2 k2 jj jj jj j j j kk k 2 jj j jj j jj j
| u + v | = | u | + 2 uA v + | v |
III) Lei dos co-senos: k k2 k2 jj jj jj j j j k2 j j j kk jj jj jj
| u @ v | = | u | + | v | @ 2| u | A | v |cosθ
Do primeiro conceito: kk jj jj jj jk jj jj j ufff 1f kfff
Av
Av ffff f ufff fff fff f ffff fff cos 60º =
[=
4A3
2 12 jj jj jj assim kAk = 6 uv kk jj jj jj Do segundo encontramos | u + v |: k k2 k2 jj jj jj j j j kk k 2 jj j jj j jj j
| u + v | = | u | + 2 uA v + | v | tirando a raiz quadrada dos dois lados: kk jj jj jj

wwwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww k2 j j j kk k 2 jj j jj j jj j

| u + v | = q| u | + 2 u A v + | v |

Outra coisa importante é quanto ao módulo: k j j j k j j j
Se | u | = 4 e | v | = 3 , então elevando os dois lados ao quadrado temos: k2 j j j

k2 j j j | u | = 16 e | v | = 9

Agora substituímoswwfórmula anterior: na wwwwwww ww wwwwwww ww wwwwwww ww wwwwww wwwwww wwww w w w w k k pwwwwww jj jj j j wwwwwww pw
| u + v | = 16 + 2.6 + 9 = 37 kk jj jj jj

Do terceiro encontramos | u @ v |: k k2 k2 jj jj jj j j j k2 j j j kk jj jj jj
| u @ v | = | u | + | v | @ 2| u | A | v |cosθ