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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS geometria analitica e algebra linear - CEA001
1)Dado o sistema
a) Encontre a matriz ampliada do sistema. b) Escreva o sistema na forma Ax = b c) Resolva o sistema por Gauss-Jordan e Cramer d) Calcule A−1 por dois métodos distintos e) Calcule det(A) f)Calcule a matriz dos cofatores de A g) Calcule a adj(A) h) Calcule (A−1 )t 2)De na: a) Matriz simétrica b) Matriz invertível c) Matriz elementar 3) Prove que a) A é invertível se, e somente se, A.At éinvertível b) Se A e B são invertíveis então (AB)−1 = B −1 A−1 c) Prove que se A é invertível então det(A−1 ) = det(A)−1 4) a) De na auto-valor e auto-vetor b) Dado o sistema Ax = λx onde vetores de A.x+y+z = 0 x−z = 2 x − y − 3z = 1
1 2 . Calcule os auto-valores e auto2 1
5)Determine v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v . 6) Prove que ||u + v||2 = ||u||2 + 2u.v +||v||2 . 7) Calcule n para que seja de 30o o ângulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j . 8) Prove que ||u × v||2 = ||u||2 .||v||2 − (u.v)2 . 9) Dados os vetores u = (1, 1, 2), v = (2, 0, 3) e w = (2, 0,1). Calcule: a) u × v , u × w e v × w
1
b) u.v , u.w e v.w c) o cosseno e seno do ângulo entre os vetores (u e v), (u e w) e (v e w). d) [u, v, w] u×v v×w e) [Pvu , Pu×w , Pu ] u×w f) u.Pvu +v.Pu×w − w.u. 9) Seja r a reta que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (2, 3, 4): a) encontre as equações veotrial, paramétrica e simétrica de r b) encontre vetores diretores de r com as seguintes normas:1,5 e 10 c) r passa pela origem? d) encontre uma equação simétrica de uma reta paralela a r e que passe pelo ponto (−1, −1, −4) e) encontre 6 pontos distintos de r 10) Encontre os plano que contémasretas
r:
x−1 2
=y=
z 3
es:
x=1+λ y = 2 + λ (λ ∈ R) z =3+λ
11) Encontre um plano paralelo ao plano que contém a reta r : x = y = z e o ponto (1, 1, 1) passando...
1)Dado o sistema
a) Encontre a matriz ampliada do sistema. b) Escreva o sistema na forma Ax = b c) Resolva o sistema por Gauss-Jordan e Cramer d) Calcule A−1 por dois métodos distintos e) Calcule det(A) f)Calcule a matriz dos cofatores de A g) Calcule a adj(A) h) Calcule (A−1 )t 2)De na: a) Matriz simétrica b) Matriz invertível c) Matriz elementar 3) Prove que a) A é invertível se, e somente se, A.At éinvertível b) Se A e B são invertíveis então (AB)−1 = B −1 A−1 c) Prove que se A é invertível então det(A−1 ) = det(A)−1 4) a) De na auto-valor e auto-vetor b) Dado o sistema Ax = λx onde vetores de A.x+y+z = 0 x−z = 2 x − y − 3z = 1
1 2 . Calcule os auto-valores e auto2 1
5)Determine v sabendo que (3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) − v . 6) Prove que ||u + v||2 = ||u||2 + 2u.v +||v||2 . 7) Calcule n para que seja de 30o o ângulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j . 8) Prove que ||u × v||2 = ||u||2 .||v||2 − (u.v)2 . 9) Dados os vetores u = (1, 1, 2), v = (2, 0, 3) e w = (2, 0,1). Calcule: a) u × v , u × w e v × w
1
b) u.v , u.w e v.w c) o cosseno e seno do ângulo entre os vetores (u e v), (u e w) e (v e w). d) [u, v, w] u×v v×w e) [Pvu , Pu×w , Pu ] u×w f) u.Pvu +v.Pu×w − w.u. 9) Seja r a reta que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (2, 3, 4): a) encontre as equações veotrial, paramétrica e simétrica de r b) encontre vetores diretores de r com as seguintes normas:1,5 e 10 c) r passa pela origem? d) encontre uma equação simétrica de uma reta paralela a r e que passe pelo ponto (−1, −1, −4) e) encontre 6 pontos distintos de r 10) Encontre os plano que contémasretas
r:
x−1 2
=y=
z 3
es:
x=1+λ y = 2 + λ (λ ∈ R) z =3+λ
11) Encontre um plano paralelo ao plano que contém a reta r : x = y = z e o ponto (1, 1, 1) passando...
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