Geometria analiica

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Volume II: Vetores e Coordenadas Espaciais
Jorge Delgado (IMUFF) Katia Frensel (IMUFF) Nedir do Espírito Santo (IMUFRJ)

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Conteúdo
2 Vetores e coordenadas espaciais Coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A distância no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Colinearidade, coplanaridade e dependência linear . . . . . . . . . . Equações paramétricas de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equação cartesiana do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientação, produto vetorial e área . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 19 31 43 53 65 81 95

Produtovetorial, produto misto e volume . . . . . . . . . . . . . . . 105 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

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Módulo 2 Vetores e coordenadas espaciais
A natureza é uma esfera infinita com centro em todo lugar e circunferência em lugar nenhum. Blaise Pascal Pré-requisitos: Geometria Analítica, Módulo 1. Pré-Cálculo, Módulos 1 - 4.

AGeometria Espacial estudada desde a época dos gregos tornou-se, gradativamente, insuficiente para resolver os complexos problemas que iam surgindo ao longo da história. A visão de René Descartes (1596 - 1650) ao criar os seus sistemas de coordenadas foi, em parte, usar as avançadas técnicas algébricas da época para modelar e equacionar os problemas geométricos. Nos seus trabalhos, Descartes criou também ossistemas de coordenadas no espaço, porém não se aprofundou no assunto. As técnicas analíticas para o estudo da Geometria espacial tiveram seu início nos trabalhos e nas mentes de outros grandes matemáticos da época, dentre os quais o holandês Frans van Schooten (1615 - 1660), o francês Philippe de La Hire (1640 -1718) e o suíço Johann Bernoulli. A Geometria Analítica do espaço, ou GeometriaAnalítica Espacial, começou a tomar forma na França graças aos trabalhos de Antoine Parent (1666 - 1716) e Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) que, em 1726, apresentou na Academia de Ciências de Paris o seu trabalho Quatre problèmes sur de nouvelles courbes (Quatro problemas sobre novas curvas), um importante tratado analítico sobre curvas não-planas no espaço. Neste Módulo, apresentaremos osprincípios básicos sob os quais se fundamenta o estudo da Geometria Analítica Espacial, ampliando para o espaço as noções vetoriais de Bellavitis, apresentadas nas primeiras aulas do Módulo 1, e os conceitos sobre coordenadas cartesianas, estudados no Módulo 2, do Pré-Cálculo.

Bibliografia. [1] Lehman, C., Geometria Analítica. Editora Globo. [2] Lima, E., Coordenadas no Espaço. SBM.

Alexis ClaudeClairaut (1713 - 1765) Paris, França. Aprendeu Matemática com seu pai, Jean-Baptise Clairaut. Estudou com Johann Bernoulli, fez avanços no estudo da Geometria das curvas no espaço, das equações diferenciais e do Cálculo Variacional. Clairaut é um dos precursores da Geometria Diferencial. http://www-history. mcs.st-andrews.ac.uk/ history/ Mathematicians/ Clairaut.html

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8 Coordenadas no espaço
MÓDULO 2 - AULA 13

Coordenadas no espaço
Objetivos
• Definir os sistemas ortogonais de coordenadas cartesianas no espaço. • Localizar pontos no espaço a partir das suas coordenadas cartesianas. Nesta aula, definimos e manipulamos os sistemas de coordenadas no espaço, de maneira análoga às coordenadas no plano que você estudou na Aula 13, do Módulo 2, do Pré-Cálculo. Paravocê ficar mais à vontade na discussão que abordaremos a seguir, imagine uma pequena bola, que designamos pela letra B, sobre um fino suporte vertical no quarto ou sala onde você está. Escolha uma das quinas do quarto, que designamos pela letra O. Essa quina é o enFig. 1: Posição de B em relação a O. contro de duas paredes e o chão simultaneamente (Figura 1). Ao mesmo tempo, O é também o ponto...
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