Geometria analítica

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: Geometria Analítica

Gerado em: 29 de setembro de 2006

O Plano Polar
Apresentação
O sistema de coordenadas polares é um outro dispositivo que podemos utilizar para localizar pontos
no plano e, conseqüentemente, representar lugares geométricos através de equações. Um dos principais
fatores que justificam a introdução desse sistema de coordenadas se deve ao fato de que alguns lugaresgeométricos neste possuem equações mais simples do que no de coordenadas cartesianas.

2.1

Coordenadas Polares

Um ponto no plano é localizado através de um sistema de coordenadas. Por exemplo, o sistema de
coordenadas cartesianas xOy . Outro sistema de coordenadas muito utilizado é o de coordenadas polares
onde consideraremos uma semi-reta horizontal e fixa, chamada de eixo polar, e deorigem em um ponto O ,
chamado de pólo. A semi-reta perpendicular que passa por O chamaremos de eixo a 90◦ ou eixo normal.
Qualquer ponto P do plano será localizado no sistema de coordenadas polares
P (r , θ)
pelo par (r , θ) denominado coordenadas polares, onde r indica a distância do ponto

r

P ao pólo O e é denominado raio vetor ou raio polar , e o ângulo θ obtido da rotação

θ

do eixopolar até o segmento OP , o qual chamaremos de ângulo vetorial ou ângulo

A

O

polar de P .
Consideraremos o ângulo polar positivo quando a rotação do eixo polar for feita no sentido anti-horário
e, o negativo, no sentido horário, tal como fazemos no estudo de trigonometria. Se P (r , θ) possui raio vetor
negativo (r < 0) devemos marcar rotacionar o eixo polar em π + θ e marcar |r |unidades a partir do pólo O .
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ), em que θ representa um ângulo qualquer.

2.1.1

Exercício Proposto
120◦
135◦

2.1. Utilizando o papel de coordenadas polares,

posicione
π
os pontos no plano dadas suas coordenadas polares: A 2,
,
3
3
π
π
π
π
π
,4C −5, 3 , D 6, 7 , E
, F (−2, 315◦ ), G 4, − ,
, −4
B −3,
2
4
3
2
3
3

π7π
11π
π

, K 5,
, L −4,
, M (1, 1),
H − 2, − , I (−3, 15 ), J 4,
6
6
4
6
N (6, 2).

2.2

90◦

60◦
45◦
30◦

150◦

180◦

210◦
225◦
240◦

330◦



315◦
300◦

Igualdade entre Dois Pontos em Coordenadas Polares

Observe que um ponto P (r , θ) em coordenadas polares determina um único ponto no plano. Entretanto,
a recíproca não é verdadeira, pois, um ponto P(r , θ) do plano pode ser representado por (r , θ + 2k π ) ou

Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento — phenrique@area1.br

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: Geometria Analítica

Gerado em: 29 de setembro de 2006

por (−r , θ + (2k + 1)π ), onde r ∈ R, θ em radianos e k ∈ Z. De forma resumida temos:
(r , θ) = (−1)k · r , θ + k π , k ∈ Z.

2.2.1

( 2.25)

Exercícios Propostos

2.2. Verifique quais dosseguintes pares de coordenadas polares representa o ponto P 2,

A 2,

π
.
3


13π
π
25π
11π
37π
, B −2,
, C 1,
, D 2,
, E 2,
, F −2,
.
3
3
3
3
3
3

π
π
2.3. Dados os pontos P1 (3, 5 ), P2 (−3, 330◦), P3 (−1, − ), P4 (2, −315◦), P5 (0, 53◦), P6 (0, e π ) e P7 (1, 3), de3
3
termine:
(a) a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar;
(b) três outrosconjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4 ;
(c) as coordenadas retangulares dos pontos P1 , P5 e P7 ;
(d) quais desses pontos coincidem com o ponto P (3, 2310◦);
2.4. Determine os valores de x e y sabendo que os pontos (x − 3, 30◦ ) e (2, y − 60◦ ) são iguais.

2.3

Determinação Principal de um Ponto

Um ponto (r , θ) em coordenadas polares se encontra em sua determinaçãoprincipal se, e somente se,

´

r
θ




0
[0, 2π ).

Adota-se a determinação principal do pólo como sendo o par (0, 0). Observemos que, por definição, o
pólo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto principal.

2.3.1

Exercício Proposto

2.5. Encontre a determinação principal dos seguintes pontos: P1 −3, 51

P4 (2, −715◦) e P5 (4, 530◦ ).

2.4

π
17π
,...
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