Gauss

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Capítulo 8
Métodos iterativos para equações não lineares
Usando o Goal Seek (Atingir meta)
O método mais simples de achar as soluções (ou raízes) duma equação
"complicada" da forma f(x) = 0 consiste em traçar o gráfico da função, para ter uma idéia da localização aproximativa das raízes. Depois disso, podemos usar a ferramenta "Atingir meta" do Excel (Dados>Ferramentas de Dados>Teste de
Hipóteses>Atingir meta). (O Excel tem uma segunda ferramenta, o "Solver", para achar numericamente os zeros de funções e para tratar problemas da estatística e análise de dados. Veja no capítulo 14 para mais detalhes.)
Exemplo: No estudo da radiação térmica aparece a equação

e− x +

x
−1 = 0
5

O gráfico desta função tem um ponto zero perto de x=5. Para obter este valor com maior exatidão, ativamos Atingir meta.

O resultado será: x = 4,965105 com f(x) = -1,8E-06.
Temos que falar um pouco sobre "Métodos iterativos" que servem, entre outras coisas, para encontrar soluções de equações não lineares como x4 - 4 x3 - x + 5
= 0 ou 2ex - x sen(x+3) = 0. No primeiro caso, existe uma fórmula resolvente geral, como no caso da equação cúbica, mas, ela é complicada, e no segundo caso, não existe nenhuma fórmula resolvente.
Um método iterativo, consiste de um modo geral, numa aproximação inicial x0, também designada iterada inicial, e num processo de obter sucessivamente novas iteradas xn+1 a partir das anteriores xn,... Desta forma,

102 pretendemos obter uma sucessão que convirja para z, solução da equação f(x)
= 0, também designada por raiz da equação, ou zero da função f.
Um processo clássico para ilustrar uma iteração é o algoritmo der Heron para determinar a raiz quadrada de um número N>=0.
Segundo Heron, começa-se com x1 = 1 como primeira estimativa para N1/2.
Depois calcula-se com a fórmula

1
N
x2 =  x1 + 
2
x1  um novo, oxalá melhor, valor para N1/2. (Esta fórmula de Heron segue do método iterativo de Newton, veja mais