Gasl conicas

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Tutoria de GASL
Estudo das Cônicas

Resolver os seguintes exercícios:

Encontre a equação reduzida e faça o esboço das curvas:
Elipse com focos F1 (-3, 0) e F2 (3,0) e semi-eixo maior a=4.

[pic]


Hipérbole com focos F1 (0, -5) e F2 (0, 5) e um vértice no ponto P (0, -3).

[pic]


Parábola de foco F(0, 3) e reta diretriz de equação x-2 = 0.

[pic]

Elipse de focos nos pontosF1 (1, 2) e F2 (7, 2) e um vértice no ponto P (8, 2).

[pic]

Hipérbole de focos nos pontos F1 (3, -3) e F2 (3, 7) e distância entre o centro e o vértice igual a 3 unidades.

[pic]

Parábola de foco F(-3, 4) e reta diretriz de equação y = 2.

[pic]

Identifique a cônica dada pela equação e faça um esboço da curva no sistema cartesiano, em cada um dos casos:

3y2 – 7x2 -6y -28x -46 =0

[pic]

4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0

[pic]

y = -x2 +4x +5

[pic]

Em que pontos a parábola de vértice V(-2, 0) e foco na origem intercepta o eixo y?

[pic]

Encontrar sobre a parábola y2 = 4x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 3.

[pic]


Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação: 9y2 +4x2 + 36y -32x +64 = 0.[pic]

Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes com os focos da elipse [pic].



Determinar a equação em coordenadas polares da circunferência cuja equação em coordenadas retangulares é [pic].

[pic]

Determinar a equação em coordenadas retangulares do lugar geométrico cuja equação em coordenadas polares é [pic].

[pic]

-----------------------Pela equação da elipse, temos que [pic] e [pic].

Para encontrarmos [pic], fazemos:

[pic]



Como o centro da elipse é a origem do sistema e o eixo maior está sobre o eixo x, temos que os focos serão os pontos [pic] e [pic]. Como os focos da elipse e da hipérbole são coincidentes, segue que [pic].



Temos também que o eixo menor da elipse coincide com o eixo imaginário da hipérbole.Logo, [pic].



Para encontrarmos [pic], fazemos:

[pic]



Para encontrarmos [pic], fazemos

[pic]



Portanto, a equação da hipérbole procurada é

[pic]



[pic]



Temos:

[pic]

[pic]

[pic]



Usando as equações [pic]e [pic], temos:



[pic]

[pic]

[pic]



é a equação procurada.



Temos:

[pic]



Usando as equações [pic]e [pic],temos:

[pic]



A equação procurada representa uma parábola.



Como os focos são pontos do eixo x, a equação desta elipse é da forma

[pic]



O centro é ponto médio de [pic]. Logo [pic].

Temos ainda [pic] e [pic].



Para encontrarmos [pic], usamos que [pic]



Aplicando esses dados na equação da elipse, temos:

[pic]



[pic]



Como os focos são pontos doeixo y (o eixo real é o eixo y), a equação da hipérbole é da forma

[pic]



O centro é ponto médio de [pic]. Logo [pic] e [pic].

Temos que [pic], pois um vértice é o ponto P(0,-3).



Para encontrarmos [pic], usamos que [pic]



Aplicando esses dados na equação da hipérbole, temos:

[pic]



[pic]



Um esboço do gráfico:

[pic]



Como a reta diretriz é paralelaao eixo y, então o eixo da parábola será paralelo ao eixo x. Assim, sua equação é da forma

[pic]



Como o foco está à esquerda da diretriz, então a parábola está voltada para a esquerda.



O vértice [pic]é ponto médio do segmento que une o foco F(0, 3) ao ponto A(2,3) da diretriz. Logo,

[pic]

e [pic].



Aplicando esses dados na equação da parábola, temos:

[pic]Como os focos são pontos da reta y = 2, paralela ao eixo x, a equação desta elipse é da forma

[pic]



O centro é ponto médio de [pic]. Logo [pic].

Temos ainda [pic] e [pic].



Para encontrarmos [pic], usamos que [pic]



Aplicando esses dados na equação da elipse, temos:

[pic]



[pic]



Como os focos são pontos da reta x = 3, paralela ao eixo y, a equação da...
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