galileu

Derivada
A reta tangente.
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.

Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P.
Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas:

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4.

Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados.
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas:

Fig. 8

Fig. 9.

Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas.
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Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f ( x ) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P( xo , y o ) , sendo y o = f ( x o ) , um ponto fixo e Q( x , y ) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f.
Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o ângulo de inclinação de s.
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. y t

y

f

Q
P

yo

β

s

∆y = y − yo
∆x = x − xo

T

α x xo

x

Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como

tg (β ) =

Q

∆y y − yo
=
.
∆x x − xo

β
P

x − xo

y − yo

T

Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg (β ) se aproximará da tg (α ) . Usando a notação de limites, é fácil perceber que lim tg (β ) = tg (α ) .

Q→ P

Mas quando Q → P temos que x → xo . Desta forma, o limite acima fica

lim tg (β ) = tg (α )

Q→ P

Assim lim

x → xo

⇔

lim

x → xo

y − yo f ( x ) − f ( xo )
= lim
= tg (α ) . x − xo x→ xo x − xo

f ( x ) − f ( xo )
= tg (α ) .