Gabarito AP1 De 2014

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito AP1 – M´ etodos Determin´ısticos II
Quest˜
ao 1: (2,0pts) Seja f : R − {−2} −→ R dada pela express˜ao f (x) = n´umero real x tal que f (f (x)) = −1.
Solu¸c˜
ao: determinar x−2
.
x+2

Encontre um

(vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f (f (x)) = −1, precisamos f (f (x)) =

Ent˜ao,
−

x−2
=
x+2

x−2 x+2 x−2 x+2 −2
+2

=−

x+6
.
3x + 2

x+6
= −1 ⇐⇒ x + 6 = 3x + 2 ⇐⇒ 4 = 2x ⇐⇒ x = 2.
3x + 2
{

Quest˜ ao 2: (2,5pts) Considere as fun¸co˜es f e g definidas por f (x) = x−3 e g(x) =

x2 x se se x≥0
.
x<0

Determine:
a) Determine (g ◦ f ) (5);
b) A lei de defini¸c˜ao de g ◦ f .
Solu¸c˜
ao: a) (vale 1,0pt)
(g ◦ f ) (5) = g(f (5)) = g(2) = 4.
b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x − 3 ≥ 0 e quando x − 3 < 0. x − 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 3 e x − 3 < 0 ⇐⇒ x < 3.
Logo,

{ g(x) =

(x − 3)2 x−3 se se x≥3 x<3 Quest˜ ao 3: (3,0pts)
a) Considere g(x) = logx−2 (x2 − 7x + 12). Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao g(x).
( 3 )
b) Sabendo que logx a = 4, logx b = 2 e logx c = 1, calcule logx ba2 c2 .
Solu¸c˜
ao: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x−2 > 0 e que x−2 ̸= 1, e tamb´em, que x2 −7x+12 >
0. A primeira parte devemos ter que x > 2 e x ̸= 2. A outra condi¸c˜ao, segue da observa¸c˜ao: x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) > 0, desde que, x < 3 ou x > 4. Todas essas condi¸co˜es juntas obtemos: {x ∈ R : 2 < x < 3 e x > 4}.
b) (vale 1,5pt)
( 3 ) a logx 2 2 = logx (a3 ) − logx (b2 c2 ) bc = logx (a3 ) − (logx (b2 ) + logx (c2 ))
= 3 logx (a) − (2 logx (b) + 2 logx (c))
3 logx (a) − 2(logx (b) + logx (c)) = 3 · 4 − 2(2 + 1) = 6

Quest˜ ao 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites:

M´ etodos Determin´ısticos 2

AP1

2

x−1
a) lim √ x→1 x−1 x2 + ax2 − 3x − 2ax + 2
3
=
2
x→2 x −4
4

b) Determine o valor de a tal que lim
Solu¸c˜
ao: a) (Vale 1,0pt)

) (√
)
x−1 x+1 √
√
x−1 x+1 √
(x − 1)( x + 1)