Gaal

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GAAL - Segunda Prova - 10/novembro/2012 SOLUCOES ¸˜

Quest˜o 1: Considere os pontos A = (1, −1, 0), B = (9, 3, 4) e C = (4, 1, −2). a (a) Determine o ponto H da reta AB que est´ mais pr´ximo de C. a o (b) Determine o ponto D da reta AB tal que o triˆngulo ADC seja is´sceles de base AD. a o SOLUCAO: ¸˜ − → (a) Um vetor diretor da reta r pode ser AB = B − A = (8, 4, 4) = 4(2, 1, 1). Vamosconsiderar Vr = (2, 1, 1) o vetor diretor da reta r. Assim a equa¸˜o param´trica de r ca e pode ser escrita como P = A + tVr : (x, y, z) = (1, −1, 0) + t(2, 1, 1). Um ponto gen´rico da reta r ´ P = (1 + 2t, −1 + t, t). Ligando P ao ponto C obtemos o e e − → vetor CP = (−3 + 2t, −2 + t, 2 + t). Para determinar o ponto H, queremos que o vetor − → − → CP seja ortogonal a reta r, ou seja, CP , Vr = 0. Istonos d´ a equa¸˜o a ca 2(−3 + 2t) + (−2 + t) + (2 + t) = 0 cuja solu¸ao ´ t = 1. Portanto para t = 1 obtemos P = H = (3, 0, 1). c˜ e (b) Observe que o segmento CH ´ uma altura do triˆngulo is´sceles ADC. Da´ H ´ ponto e a o ı e m´dio do segmento AD. Em coordenadas, o ponto m´dio ´ a m´dia aritm´tica dos e e e e e A+D . Isto implica que extremos do segmento e portanto H = 2 D = 2H − A = 2(3, 0, 1) −(1, −1, 0) = (5, 1, 2). De modo alternativo, vamos utilizar a equa¸ao param´trica c˜ e (x, y, z) = (1, −1, 0) + t(2, 1, 1) da reta AB deduzida no item anterior. Nesta parametriza¸ao, para t = 0 estamos no c˜ ponto A e para t = 1 estamos no ponto H. Da´ como H ´ o ponto m´dio do segmento ı, e e AD, podemos concluir que para t = 2 estamos no ponto D = (1, −1, 0) + 2(2, 1, 1) = (5, 1, 2).

Quest˜o2: Considere os planos α e β de equa¸oes gerais a c˜ α : x − 2y − 2z = 1 β : −2x + 5y + z = 0.

(a) Determine a equa¸ao param´trica da reta r = α ∩ β. c˜ e (b) Detemine a equa¸ao de uma reta s contida em α e que seja perpendicular a r. c˜ (c) Calcule o cosseno do angulo entre os planos α e β. ˆ SOLUCAO: ¸˜ (a) Para calcular a reta r = α∩β precisamos determinar o conjunto solu¸ao do sistemalinear c˜ dado pelas equa¸oes dos planos α e β. Para resolver este sistema, vamos considerar a c˜ matriz aumentada 1 −2 −2 −2 5 1 1 0

Efetuando a opera¸˜o elementar L2 ← L2 + 2L1 obtemos: ca 1 −2 −2 0 1 −3 1 2

Efetuando agora a opera¸ao elementar L1 ← L1 + 2L2 obtemos: c˜ 1 0 −8 0 1 −3 5 2

Vemos ent˜o que z ´ uma vari´vel livre e que x = 5 + 8z e y = 2 + 3z. Portanto, uma a e a equa¸aoparam´trica da reta r = α ∩ β pode ser dada por c˜ e   x = 5 + 8t y = 2 + 3t r:  z = 0 + t (b) Um vetor normal ao plano α ´ Nα = (1, −2, −2). Um vetor diretor da reta r ´ e e Vr = (8, 3, 1). Como estes dois vetores s˜o ortogonais a reta s procurada, vemos que um a vetor diretor da reta s pode ser calculado como o produto vetorial  i j k Vs = Nα × Vr = det  1 −2 −2  = (4, −17, 19) 8 3 1 Considerando t = 0 na equa¸ao param´trica de r, obtemos o ponto A = (5, 2, 0) de c˜ e r. Da´ podemos considerar a reta s como a reta que passa por A e tem vetor diretor ı Vs = (4, −17, 19). Esta reta tem equa¸ao param´trica c˜ e (x, y, z) = (5, 2, 0) + s(4, −17, 19).

(c) Vetores normais aos planos α e β s˜o Nα = (1, −2, −2) e Nβ = (−2, 5, 1). Se θ ´ o a e angulo entre estes planos, sabemos que ˆ cos(θ)= | Nα , Nβ | . Nα Nβ

Substituindo os dados do problema obtemos √ | − 2 − 10 − 2| 7 30 14 √ cos(θ) = √ = . = √ 45 1 + 4 + 4 4 + 25 + 1 3 30

Quest˜o 3: Na figura vemos um cubo de aresta 2 e quatro pontos marcados: a A e D s˜o v´rtices; B e C s˜o pontos m´dios de arestas do cubo. a e a e (a) Reproduza a figura na sua folha de respostas, introduza um sistema de coordenadas xyz e calcule ascoordenadas dos pontos A, B e C neste sistema de coordenadas. (b) Determine a equa¸ao do plano α que passa por A, B e C. c˜ (c) Mostre que o ponto D pertence a este plano α. (d) Calcule a ´rea do quadril´tero ABDC. a a

SOLUCAO: ¸˜ (a) Existem v´rios sistemas de coordenadas que podem ser introduzidos na figura dada. a Um delas ´ o seguinte. e

Neste sistema de coordenadas A = (2, 2, 0), B = (2,...
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