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Instituto de Matem´tica - IM/UFRJ a C´lculo Diferencial e Integral II - MAC128 a
Primeira prova - 07/05/2008 Quest˜o 1: (2.5 pontos) a Seja a equa¸˜o diferencial ordin´ria y (t) = 2y(t)(y(t) − 1). ca a (a) (1.5 ponto) Obtenha a solu¸˜o geral da EDO acima de forma expl´ ca ıcita. (b) (1.0 ponto) Seja y0 = y(0). Encontre a express˜o para y(t) envolvendo y0 . a Suponha que 0< y0 < 1, calcule o limite da solu¸˜o deste problema quando t ca tende a infinito. Quest˜o 2: (2.5 pontos) a Seja a equa¸˜o diferencial ordin´ria y (t) − 4y (t) + 4y(t) = f (t). ca a (a)(0.8 ponto) Considere f (t) ≡ 0. Encontre a solu¸˜o geral desta equa¸˜o difeca ca rencial ordin´ria. a (b) (1.7 ponto) Considere, agora, que f (t) = te3t , y(0) = 6 e y (0) = 15. Encontre asolu¸˜o para este problema de valor inicial. ca Quest˜o 3: (3.0 pontos) a Seja uma part´ ıcula cuja posi¸˜o no espa¸o ao longo do tempo ´ descrita pela fun¸˜o ca c e ca vetorial s(t) =(cos(2t), sen(2t), t), com t ∈ [0, 2π]. (a) (0.5 ponto) Fa¸a um esbo¸o da trajet´ria percorrida pela part´ c c o ıcula. (b) (1.0 ponto) Calcule o comprimento de arco (distˆncia percorrida pelapart´ a ıcula) π entre os tempos t = e t = π. 4 (c) (1.0 ponto) Encontre as equa¸˜es da reta tangente ` curva descrita pela part´ co a ıcula √ 1 3 π . , , no ponto 2 2 6 (d) (0.5 ponto)Calcule a velocidade e acelera¸˜o vetoriais da part´ ca ıcula. Quest˜o 4: (2.0 pontos) a Seja a qu´drica cuja equa¸˜o cartesiana ´ dada por 2x2 + y 2 + 2y + z 2 = 9. a ca e (a) (1.0 ponto) i.Identifique a qu´drica a ii. Determine a equa¸˜o da interse¸˜o da qu´drica com os planos coordenados ca ca a xz e yz iii. Identifique as curvas obtidas no subitem anterior iv. Fa¸a um esbo¸o dasuperf´ c c ıcie (b) (1.0 ponto) Encontre uma parametriza¸˜o para a curva C que corresponde ` ca a interse¸˜o da qu´drica com o plano y + z = 1 ca a

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Boa prova!

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