Funções Quadráticas

Matemática I - Prof. Glauceny Medeiros

Unidade 04
(U04M01: Funções Quadráticas)

Exercícios Resolvidos 03
1. A função lucro para um determinado produto é dada em função da quantidade produzida e vendida x, por: L( x)   x 2  70 x  1000 . Qual o intervalo que deve variar a quantidade x para que o lucro seja positivo?
Resolução:
Em outras palavras, queremos saber para quais valores de x a função quadrática
L( x)   x 2  70 x  1000 é positiva. Ou seja, precisamos fazer um estudo do sinal desta
Y
função.
Como a < 0 e o  = 900 > 0, temos o seguinte esboço do gráfico:

_

x'

+

x''

_

X

Logo, observa-se que para qualquer valor de x entre os valores de x’ e x’’, obtém-se o lucro positivo. Neste caso, precisamos calcular as raízes desta equação...

  b 2  4ac



  702  4(1)(1000)  900

b  
2a



x

x

 70  30
2

Logo, encontramos x’ = 20 e x’’ = 50.
Assim, vendendo-se qualquer quantidade, entre 20 e 50 unidades, obtém-se um lucro positivo.
Resposta: 20 < x < 50.
2. O preço de um determinado produto é dado por

p  100 

x
2

e o custo total

C ( x)  x 2  10 x  20 . Determine a função lucro.

Resolução:
Como já sabemos, o lucro é definido como: L( x)  R( x)  C ( x) .
Não temos a função receita, mas sabe-se que R( x)  p  x . Assim, vamos encontrar a função receita. Observe que agora o nosso preço (p) não é constante e isto vai fazer com que a função receita seja quadrática ou do 2º grau.

R( x)  p  x



x

R( x)  100    x
2


Assim, fazendo L( x)  R( x)  C ( x)





R( x)  100 x 

x2
2

x2
L( x)  100 x   x 2  10 x  20
2





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Fiquem atentos com este sinal de (-) fora dos parênteses. Observe que para simplificar só somamos os termos de mesma potência de x. x2 3x 2
L( x)  100 x   x 2  10 x  20

L( x)  
 90 x  20
2
2
Resposta: L( x)  

3x 2
 90 x  20 .