Função logistica

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Análise de Regressão Logística
Ernesto F. L. Amaral Magna M. Inácio

02 de setembro de 2010 Tópicos Especiais em Teoria e Análise Política: Problema de Desenho e Análise Empírica (DCP 859B4)

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Regressão Logística
O modelo de regressão não linear logístico é utilizado quando a variável resposta é qualitativa com dois resultados possíveis:

0 = Votou no mesmo candidato no 1o e 2o turnos.
1 = Mudou de voto entre 1o e 2o turnos (Helena-Lula e Alckmin-Lula)

Este modelo pode ser estendido quando a variável resposta qualitativa tem mais do que duas categorias. Por exemplo, posicionamento ideológico: esquerda, centro, direita.

Interpretação da função de resposta quando a variável resposta é binária
Vamos considerar o modelo de regressão linear simples:
Yi   0  1 X i   i 1 Yi   0

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A resposta esperada é dada por:
E (Yi )  0  1 X i

Na regressão logística, Yi possui uma distribuição de probabilidade:

Yi  1  P(Yi  1)   i

Yi  0  P(Yi  0)  1   i

Definição do valor esperado
Pela definição de valor esperado, obtemos:

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E (Yi )   0  1 X i   i
Assim, a resposta média, quando a variável resposta é uma variável binária (1 ou 0), representa a probabilidade de Y = 1, para o nível da variável independente Xi.

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Função logística com uma variável independente
Considerações teóricas e práticas sugerem que quando a variável resposta é binária, a forma da função resposta será frequentemente curvilínea. As funções respostas das figuras são denominadas funções logísticas, cuja expressão é:

E (Y ) 
Forma equivalente:

exp( 0  1 X ) 1 exp( 0  1 X )
1

E (Y )  1  exp   0  1 X 

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Variável dependente estimada pela variável independente observada

E (Y ) 

exp(  0  1 X ) 1 exp(  0  1 X )

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Variável dependente estimada pela variável independente observada

E (Y ) 

exp( 0  1 X ) 1 exp( 0  1 X )

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Propriedade da função logística
Uma