Funcao

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4.

4.1.

AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

A FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vimos no capítulo anterior que dado a ∈ R * , a potência ax pode ser definida
+

para qualquer número x ∈ R. Portanto, fixando a ∈ R * , podemos definir uma função
+
que a cada x ∈ R associa ax ∈ R * . Esta função será chamada de função exponencial
+
de base a .
Definição
Seja a ∈ R * , a ≠ 1. Chama-se função exponencial de base a, a função
+
* f : R → R+

x → ax

Observações
1) A exigência a ≠ 1 é para que a função exponencial não seja uma função constante.
2) Segue da propriedade P9), vista anteriormente para potências, que Im( f ) = R * , ou
+
seja, f é sobrejetora.
3) Das propriedades P6) e P7), temos que a função exponencial é estritamente crescente para a > 1, e estritamente decrescente para 0 < a < 1.

Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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Apresentamos a seguir o gráfico da função exponencial nos casos a > 1 e 0 < a < 1.

a>1
0 x 2 ⇒ f(x1 ) < f(x 2 ) ou f(x1 ) > f(x 2 ) ⇒ f(x1 ) ≠ f(x 2 ) .
O caso em que f é estritamente decrescente demonstra-se de modo análogo.
Como a função exponencial é estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se 0 < a < 1, concluímos que ela é injetora.
Sendo injetora e sobrejetora, temos que a função exponencial, como definida acima, é bijetora.
Proposição 4.2
Sejam a ∈ R * , a ≠ 1 e x 1 e x 2 ∈ R .
+
i) Se a > 1 e a x1 < a x2 então x 1 < x 2 . ii) Se 0 < a < 1 e a x1 < a x2 então x 1 > x 2 .
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M.

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D]
i) Suponhamos, por absurdo, que x1 ≥ x 2 . Como a > 1, a função exponencial é crescente, logo a x1 ≥ a x2 , o que contradiz a hipótese. ii) Análogo ao item i).
Da Proposição 4.2. e das observações feitas anteriormente sobre o crescimento e decrescimento da função exponencial, concluímos:
i) Para a > 1, a x1 < a x2 ⇔ x 1 < x 2 . ii) Para 0 < a < 1, a