Funções polinomiais

Páginas: 3 (572 palavras) Publicado: 15 de outubro de 2011
Funções Polinomiais

1.1 Denição
Uma função polinomial f : R → R é uma função da forma
y = f (x) = anxn+ . . . + a3x3+ a2x2+ a1x + a0;
onde:
• n é o grau do polinômio;
• an, . . . , a3, a2,a1, a0, chamados coecientes do polinômio, são constantes (an6= 0);
• x é a variável independente. O domínio de toda função polinomial é R;
• y = f (x) é a variável dependente.
Exemplo 1.1 y = 4x3−2x2+ 1 é um polinômio de grau 3; seus coecientes são 4, −2, 0 e 1.

1.2 Resultados Importantes
Identidade de Polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se os coecientes das parcelas de mesmapotência são iguais.
Exemplo 1.2 Determine os valores de m, n e p para que os polinômios
P (x) = (m + n)x2+ 3nx − 4 e Q(x) = 2mx2− 6x + 4p
sejam idênticos.
Solução: comparando-se as parcelas de mesmapotência temos o sistema

 m + n = 2m



3n
4p

= −6
= −4

cuja solução é m = −2, n = −2 e p = −1 (verique!).

Polinômio Identicamente Nulo
O polinômio identicamente nulo éaquele no qual todos os coecientes são nulos, ou seja,
y = f (x) = 0xn+ 0xn−1+. . . + 0x3+ 0x2+ 0x + 0 = 0, ∀x ∈ R.
Qual o grau de um polinômio identicamente nulo? o que você quiser (sinistro não?).

1CAPÍTULO 1. FUNÇÕES POLINOMIAIS

Teorema do Resto
A divisão do polinômio P pelo fator linear (x − r) é igual a P (r).


2

Exemplo 1.3 Determine o valor de m de modo que a divisãodo polinômio f (x) = (m−4)x3−mx2 −3 por g(x) = x−2
dê resto 5.
Solução: pelo Teorema do Resto devemos ter f (2) = 5; logo
f (2) = 8(m − 4) − 4m − 3 = 5
4m = 40
m = 10.
Pelo Teorema do Restoobservamos que se r é uma raiz de um polinômio P , isto é, se P (r) = 0, então P é divisível
por (x − r) (este resultado é conhecido como Teorema de D'Alembert). Generalizando este resultado, se P édivisível
pelos fatores lineares (x − r1), (x − r2),. . ., (x − rn), então P também é divisível pelo produto
(x − r1)(x − r2) . . . (x − rn);
onde os números r1, r2, . . . , rnsão todos raízes de P...
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