Fractal

O uso de primitivas geométricas para modelamento de objetos apresenta limitações

Por que a costa da Escócia variava com o tamanho da régua utilizada?

apropriado para objetos manufaturados. não apropriado para objetos "naturais"

¢

¡
¡

Capítulo 20.3 do Foley

Modelamento

Modelos Fractais

nuvens, árvores, animais, etc.

£

Certos objetos são caracterizados pela sua natureza caótica.

£

A teoria dos fractais foi criada basicamente para tentar modelar algumas dessas estruturas complexas. ¤

A costa da Escócia é tão irregular que seu comprimento parece aumentar a medida que o tamanho do seu instrumento de medida (régua) diminui.

¤

Tal fenômeno foi caracterizado mais tarde pelo conceito de dimensão fractal.
Outra característica de fractais: auta similaridade alguns padrões do objeto parecem reaparecer em diversos lugares, mas com dimensão cada vez menor). Auto similaridade estatística ocorre na natureza.

Dimensão de um objeto

¥

De volta à Escócia

¥
¥
¥
¥
¥

Departamento de Ciência da Computação - IME/USP
1o semestre 2005

Ponto
Linha
Plano
Cubo
A deformação de um objeto não muda a sua dimensão Tudo isso é intuitivo, mas como definir a dimensão de um objeto?

¤

¤

¤
¤

Definindo a dimensão de objetos
Considere um espaço d-dimensional
Defina uma ε-bola de dimensão d como sendo o interior de uma esfera de d dimensões de raio ε (é um conjunto aberto, a superfície da bola não faz parte do conjunto).
Simplificação: ε-hipercubo de lado ε
Intuição: a dimensão de um objeto depende do número de bolas necessárias para cobri-lo, e portanto do valor de ε.

Contando e-bolas
• Considere um segmento de linha

• assuma que para um certo ε, foram necessárias N bolas para cobrir todo o segmento.
• se o raio ε for reduzido pela metade, o que acontece com N?

• Se o raio diminui por um fator de 2, o número de bolas aumenta por um número de 2.
• de forma geral: diminuição