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Série Numérica

Sucessão das somas parciais
Definição

Definição


n=1

Dada uma série,



n=1

ou a1 + a2 + · · · + an + · · ·

ak .
k=1

A sucessão (sn )n∈N dada por
s1 = a1

ou



a1 + · · · + am +

n

sn = a1 + · · · + an =

Uma série de números reais é uma expressão da forma
an

an denotamos por sn a sua n-ésima soma parcial,

s2 = a1 + a2

an ,s3 = a1 + a2 + a3

n=m+1

s3 = a1 + a2 + a3 + a4
.
.
.

onde an é uma sucessão numérica. O termo geral dessa sucessão é o
termo geral da série.

designa-se por sucessão das somas parciais de


n=1

an .

13

Natureza e soma de uma série

Série Geométrica

Definição

Definição

Se a sua sucessão de somas parciais sn for convergente e lim sn = s,
com s ∈ R, então a série∞
n=1

Uma série

an diz-se convergente e escrevemos


n=1

an diz-se geométrica se o seu termo geral for o termo

geral de uma progressão geométrica: an = a · rn−1 , onde a, r ∈ R. Por



a1 + · · · + an + · · · = s ou

14

outras palavras, uma série geométrica é uma série da forma:

an = s.



n=1

O número s diz-se a soma da série. Caso contrário, a sériediz-se

n=1

a · rn−1 = a + ar + ar2 + · · · arn + · · ·

Teorema

divergente.

Seja


n=1

a · rn−1 uma série geométrica. Se a = 0 então a série

converge e a sua soma é 0. Se a = 0 então:
1
2

15

a série diverge para |r| ≥ 1;
a série converge para |r| < 1 e a sua soma é

a
.
1−r

16

Série Harmónica

Teste para a divergência

Definição

Teorema



A sérieharmónica é a série 1 +

11
1
1
+ + ··· + + ··· =
.
23
n
n
n=1


n=1

Se

an for convergente então an converge para zero.

Equivalentemente, se o termo geral de uma série não converge

Teorema

para zero então a série diverge.

A série harmónica é divergente. A sucessão sn tem limite +∞.

Observação
O termo geral de uma série pode convergir para zero e a sériedivergir.

17

Importância dos primeiros termos

18

Álgebra das séries
Teorema

Observação
Seja k ∈ N e

n=1

de

Sejam

n= k


n=1

an = ak + ak+1 + · · · an + · · · a série que se obtém

an = a1 + a2 + · · · + an + · · · considerando a soma infinita

1

apenas a partir do termo ak em diante. Então

1

a natureza das séries

an e
n= k

2

2




n=1s′ = s −

an e s′ for a soma de
k−1
n=1

an e


n=1 bn

an = s e

as séries


n=1 (an

a soma de

duas séries convergentes e s, s′ ∈ R tais que

= s′ . Então, dado c ∈ R,

+ bn ) e


n=1 (an

Suponhamos que

n= k


n=1 bn


n=1

c · an são ambas convergentes;

+ bn ) é s + s′ e a soma de


n=1

Teorema

an coincide mas;
n=1

no casoconvergente as suas somas podem não coincidir.

Se s for a soma de


n=1

Então


n=1 (an


n=1

an é convergente e que


n=1 bn

c · an é c · s.

é divergente.

+ bn ) é divergente.

an , temos:

an = s − (a1 + · · · + ak−1 )

19

20

Critérios de convergência – séries de termos não-negativos
Teorema (Critério de comparação)
Sejam


n=1

an e


n=1 bnDefinição

1
2

Teorema

an ≤ bn , para todo o n ≥ n0 .

se


n=1 bn

se


n=1

converge,

an diverge,


n=1


1
n=1 np

A série

an converge;


n=1 bn


1
n=1 np .

Seja p ∈ R. A série-p, ou série de Dirichlet, correspondente é

duas séries de termos não-negativos.

Suponhamos que
Então:

Séries-p

é divergente se p ≤ 1 e convergente se p >1.

diverge.

21

Critérios de convergência – séries de termos positivos

Critérios de convergência – séries de termos positivos

Teorema (Critério de comparação do limite)
Sejam


n=1

an e

que a sucessão

an
bn


n=1 bn

Teorema (Critério d’ Alembert [ou teste da razão])

duas séries de termos positivos. Suponhamos

é convergente e que o limite desta pertence...
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