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Transferência de Calor 1
Prof. Dr. Thiago Antonini Alves
thiagoaalves@utfpr.edu.br p g http://twitter.com/thiagoantonini

Aula 10
19/09/2012

Condução em Regime ç g Transiente
(Parte 3/3)

Sumário S á i
O Sólido Semi-Infinito Efeitos Multidimensionais

Aula 10 – Condução em Regime Transiente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1

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O Sólido Semi-Infinito Semi Infinito
Aula 10 – Condução emRegime Transiente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1

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Um sólido semi-infinito é um corpo idealizado que tem uma única superfície plana e se estende até o infinito em todas as direções. Se uma súbita mudança de condições for imposta nessa superfície, condução 1D em regime transiente ocorrerá no interior do sólido. sólido O sólido semi infinito fornece uma idealização útil parasemi-infinito muito problemas práticos.
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Transferência de Calor 1

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Ele pode ser utilizado para determinar a transferência de calor transiente próxima à superfície da Terra ou para aproximar a resposta transiente de um sólido finito, como uma placa espessa. Por curtos intervalos de tempo, a maior parte dos corpos pode ser modelada como sólidos semiinfinitos porque semi-infinitos, o calor não tem tempo suficiente para se propagar profundamente no corpo e a espessura do corpo não entra na análise da transferência de calor.

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Transferência de Calor 1

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Considere um sólido semi-infinito com propriedades termofísicas constantes, sem geração interna de calor, , g ç , condições térmicasuniformes em sua superfície exposta e inicialmente a uma temperatura uniforme Ti . A Equação do Calor deste problema (condução 1D em regime transiente e sem geração) é expressa por i i ã )
∂ 2T 1 ∂T = 2 α ∂t ∂x

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Transferência de Calor 1

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A profundidade do sólido é grande (x → ∞) em comparação com a profundidade que o calor pode propagar, e estesfenômenos podem ser tratados matematicamente como uma condição de contorno expressa por
T ( x → ∞ ,t ) = Ti

A condução de calor num sólido semi-infinito é regida pelas condições térmicas impostas na superfície exposta e, portanto, a solução depende fortemente da condições de contorno em x = 0.
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Uma soluçãoanalítica detalhada para o caso de temperatura constante Ts na superfície (Condição de Dirichlet [Caso 1]) será apresentada e, então, os e então resultados para outras condições de contorno mais complicadas (Condições de Neumann [Caso 2] e de Robin [Caso 3]) serão apresentados.

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Transferência de Calor 1

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A formulação do problema pode ser expressacomo
∂ 2T 1 ∂T = 2 α ∂t ∂x

- condição inicial:

T (x,0) = Ti

- condições de contorno:
T (0,t ) = Ts T ( x → ∞ ,t ) = Ti
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A solução deste problema pode ser obtida através do reconhecimento da existência de uma variável de similaridade η, com a qual a EDP, envolvendo duas variáveis independentes (x e t), étransformada numa EDO escrita em termos de uma única variável similar.
x η≡ 4α t

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Para tal, a transformação dos operadores diferenciais p pertinentes é expressa por p p
∂T dT ∂η x dT = =− ∂t dη ∂t 2t 4α t dη ∂T dT ∂η 1 dT = = ∂x dη ∂x 4α t dη

d ⎛ ∂T ⎞ ∂η ∂ 2T 1 d 2T = = ⎟ ⎜ 2 dη ⎝ ∂x ⎠ ∂x 4α t dη 2 ∂x
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Transferência de Calor 1

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Com isso, a Equação do Calor torna-se
d 2T dT = −2η 2 dη dη

com x = 0 correspondendo a η = 0 a condição na d d 0, di ã superfície pode ser representada por
T (0) = Ts

e com x → ∞ bem como t = 0 correspondendo η → ∞, ∞, 0, ∞ tem-se que T (η → ∞ ) = Ti
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