Formulário alga

Álgebra linear e Geometria Analítica
C URSOS : EB, EC, EE, EI, EM
E

EQB

F ORMULÁRIO

Números Complexos
Fórmulas de De Moivre
Para n ∈ N e z = r cis(θ) ∈ C, z n = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) z −n = r−n (cos(−nθ) + i sin(−nθ)), (z = 0)

Raízes n-ésimas
Dado n ∈ N, as raízes n-ésimas de um número complexo a = r cis(θ) ∈ C (a = 0) são as n raízes da equação z n = a que são dadas pela fórmula: zk = √ n r cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n , k = 0, 1, . . . , n − 1.

Matrizes e Determinantes
• Seja A ∈ Mn (C). Então A é uma matriz: (a) simétrica se A = AT ; (c) ortogonal se A−1 = AT ; (e) hemi-hermítica se A∗ = −A; • Seja A ∈ Mn (C) uma matriz invertível. Então A−1 = onde adj(A) é a matriz adjunta de A. 1 adj(A), det(A) (b) anti-simétrica se A = −AT ; ¯ (d) hermítica se A = A∗ sendo A∗ = AT ; (f) unitária se A−1 = A∗ .

Sistemas de Equações Lineares
Regra de Cramer
Seja Ax = b um sistema de n equações lineares e n incógnitas em que A é uma matriz não singular. Então o sistema tem T com uma única solução e esta solução é o vector x = x1 x2 · · · xn xj = det(Aj ) , det(A) , j = 1, 2, . . . , n

onde Aj é a matriz que resulta de A substituindo a coluna j pelo vector b.

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Geometria Analítica
Produto interno e norma em Rn
Sejam u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) vectores em Rn . • O produto escalar, ou produto interno, entre u e v é o número real u · v definido por: n u·v=

uk v k . k=1 • A norma (Euclideana) de u é o número real, não negativo, definido por n u = k=1 u2 = k

√ u·u

O produto escalar entre dois vectores u e v de Rn , definido pela equação, admite a seguinte fórmula geométrica u·v= onde θ ∈ [0, π] é o ângulo formado por u e v. u v cos θ

Produto externo e produto misto em R3
Sejam u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ) vectores no espaço, R3 . Define-se: • produto vectorial, ou produto externo, de u com v como sendo o vector de R3 dado por u × v = (u2 v3 − u3 v2 , u3