Formulario probabilidade e estatistica

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Formulário de Probabilidades e Estatística
Estatística Descritiva

k ≅ 1+
a=

ln n ln 2

se n ≤ 25 ⎧5 ⎪ k =⎨ ⎡ ⎤ ⎪ ⎣ n ⎦ se n > 25 ⎩

k = 10 log10 n

[

]

xn:n − x1:n k

xi′ =

ci + ci +1 2

hi =

fi ai

hi =

ni ai

1 x= n


i =1

n

xi
se n é ímpar

x=

1 n


i =1

k

ni xi′ =

∑ f x′
i i i =1

k

⎧ x n +1 ⎪ 2 :n ⎪ Me = ⎨ x n + x n +1:n⎪ 2:n 2 ⎪ 2 ⎩
Mo ≈ ci +

se n é par

n 1 − Ni −1 − Fi −1 Me ≈ ci + 2 ci +1 − ci ) = ci + 2 ( ( ci +1 − ci ) fi ni
hi +1 ( ci +1 − ci ) hi −1 + hi +1

ni +1 f ( ci +1 − ci ) = ci + i +1 ( ci+1 − ci ) fi −1 + fi +1 ni −1 + ni +1

Mo ≈ ci +

nk ⎧ se não é inteiro nk k ⎪ x⎡ nk ⎤ +1:n 4 − N i −1 − Fi −1 ⎢4⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 4 4 Qk ≈ ci + Qk = ⎨ ( ci +1 − ci ) = ci + ( ci +1 − ci ) x + x nk ni fi ⎪ nk:n +1:n nk 4 ⎪ 4 se é inteiro 2 4 ⎩
s2 = 1 n 1 ∑ (xi − x )2 = ∑ xi 2 − x 2
i =1
k

n

n

n

s ′2 =
k 2

i =1

1 n 1 ⎛ 2 ( xi − x ) = ⎜ n − 1 i =1 n −1 ⎝


i

∑x
i =1

n

2

i

⎞ − nx 2 ⎟ ⎠

1 s = n
2

∑ n (x′ − x )
i i i =1

2

1 = n

∑ n x′
i i i =1

k

2

−x =
2

∑ f (x′ − x) = ∑ f x′
i i i i =1 i =1

k

2

− x2
s ⋅ 100 % x

d F =Q3 − Q1 gp =
s xy =

R = xn:n − x1:n
gp =
n

Cv =

x − Mo s
1 n
n

3( x − Me) s

1 ∑ (xi − x )( yi − y ) = ∑ xi yi − xy
i =1

n

i =1

sxy r= = sx s y ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∑x y −
i i i =1

n

∑ ∑y
xi
i =1 i =1

n

n

i

n ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎛ ⎜ ⎜ y2 − ⎝
i


i =1

n

⎛ ⎜ ⎜ x2 − ⎝
i



⎞ xi ⎟ ⎟ i =1 ⎠ n
n

2


i =1

n



⎞ yi ⎟ ⎟ i=1 ⎠ n
n

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/6

Probabilidades
P ( A ∪ B) = P ( A ) + P ( B) − P ( A ∩ B) P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B) + P ( C ) − P ( A ∩ B) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )

P ( B ∩ A ) = P ( B − A ) = P ( B) − P ( A ∩ B)
P ( A ∩ B) = P ( B | A ) P ( A ) = P ( A | B) P ( B) P(B) =

P (A | B ) =

P(A ∩ B ) P (B )

P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( C | A ∩ B) P ( B | A) P ( A )

∑ P(B | A )⋅ P(A )
i i i =1

n

P Aj |B =

(

)

P B|Aj ⋅P Aj
n i i =1

(

) ( )

∑ P(B | A ) ⋅ P(A )
i

Variáveis Aleatórias
E (X ) =

x∈CD X

∑ x f (x )
x∈CD X

E (X) =

+∞

−∞



x . f ( x ) dx

Var (X ) =

∑ [x − E(X )] . f (x )
2

Var (X ) =

+∞

−∞

∫ [x − E(X )] . f (x ) dx
2

Var(X ) = E X 2 − E 2 (X )

( )Distribuições de Probabilidade
Discretas

1 Uniforme: f ( x ) = n

x = x1 , x2 , … , xn ,

1 E(X) = n

∑x
i =1
n

n

i

xi ≠ x j , i ≠ j
Bernoulli: f ( x ) = p x (1 − p )
1− x

1 Var(X) = n


i =1

xi2

⎛1 −⎜ ⎜n ⎝


i =1

n

⎞ xi ⎟ ⎟ ⎠

2

x = 0, 1
n− x

E(X) = p
E(X) = np E(X) = λ

Var(X) = p(1 − p)
Var(X) = np(1 − p) Var(X) = λ

Binomial: f ( x ) = ⎜ ⎟ p x (1− p ) Poisson: f ( x ) =

⎛n⎞ ⎝ x⎠

x = 0, 1, … , n

e − λ λx x!

x = 0, 1, 2, …

Contínuas

⎧ 1 Uniforme: f ( x ) = ⎪ b − a ⎨ ⎪ 0 ⎩

, a< x0

E(X) =

n , n>2 n−2

Var(X) =

2n 2 ( m + n − 2 )
m ( n − 2) ( n − 4)
2

, n>4

• Se X ∩ F( m, n ) então

1 ∩ F( n, m ) . X
2 2

• Se X e Y são duas v.a.'s independentes e se X ∩ χ( m ) e Y ∩ χ( n ) então, F = • Se T ∩ t( n) então T ∩ F(1, n ) .
2

Xm ∩ F( m, n ) . Yn

3/6

Distribuições de Amostragem
Parâmetro a estimar Tipo de população Dimensão da amostra Conhece-se σ Distribuição amostral

Estatística

X− p

p

Bernoulli

n > 30

-------

p (1 − p ) n

∩ N ( 0, 1)

( X1 − X 2 ) − ( p1 − p2 )
p1 − p2 Bernoulli n1, n2 > 30 ------p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) + n1 n2 X −μ σ n X −μ σ n X−μS′ n X−μ S n ∩ N ( 0, 1)
∩ N ( 0, 1)

μ μ μ

Normal qualquer Normal Normal ou qualquer Normais

qualquer n > 30 n ≤ 30

sim sim não

∩ N ( 0, 1) ∩ t( n −1) ∩ N ( 0, 1)

μ

n > 30

não

μ1 − μ2

quaisquer

sim (σ1 e σ2)

( X1 − X 2 ) − ( μ1 − μ2 )
2 σ1 σ2 + 2 n1 n2

∩ N ( 0, 1)

( X1 − X 2 ) − ( μ1 − μ2 )
μ1 − μ2 Normais n1, n2 ≤ 30 não (σ1 e σ2)
2 2 σ1 = σ2

1...
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