Folha2 GE

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Folha n.o 2

Ano Lectivo 2014/2015
I. CÁLCULO MATRICIAL

2. Sistemas de Equações Lineares: Resolução de sistemas pelo Método de eliminação de Gauss
Discussão de sistemas
Resolução de sistemas pelo Método da inversa




 2x + y − z = 0
1. Considere o seguinte sistema de equações lineares: x−z =1



z + 2y = 3x

.

(a) Escreva-o na forma matricial, AX = B.

(b) Condense a matriz ampliada [A|B].
(c) Determine o conjunto solução do sistema dado.
2. Considere um sistema de equações lineares na forma matricial, AX = B, com A ∈ Mm×n (IR) e B ∈ Mm×1 (IR) matrizes reais. Suponha que car (A) = r e que car ([A|B]) = s. Classifique
(possível e determinado ou indeterminado, impossível) o sistema dado, sabendo que:
(a) m = 7, n = 7, r = 6, s = 7.
(b) m = 12, n = 4, r = 4, s = 5.
(c) m = 15, n = 11, r = 11, s = 11.
(d) m = 72, n = 72, r = 70, s = 70.



 x+y+z =1
3. Considere o sistema
2x + 2y + 2z = 2 .



3x + 3y + 3z = 3
(a) Mostre que é possível e indeterminado, com grau de indeterminação igual a 2.
(b) Determine o seu conjunto solução.
(c) Indique duas soluções particulares, distintas, do sistema dado.
4. Considere os seguintes sistemas de equações lineares:



 x +
2y
− z =
3



 2x + y − z = 3
(i)
(ii)
−2x − 3y + 4z = 1 ; x − 2y + 2z = −1 ;






3x + 5y − 3z = 6
2x + y + z = 5
1




 x+y+z = 0
(iii)
−x − y − z = 0 ;



2x + y = 0



 x − 2y + 3z = 1
(v)
2x − 4y + 6z = 6 ;



−x + 3y − 7z = 0





(iv)










(vi)







x+y+z+w =2 x + 2z − w = 1

;

x + 2y + 3w = 3 x + 2y + z + t + 4u = 4
−2x − 4y − z − 3t − 6u = −6
2x + 4y + 2t + 4u = 4

.

2x + y + z = 5

(a) Utilizando o Método de eliminação de Gauss, resolva se possível, os sistemas dados.
(b) Indique, caso exista, uma solução particular de cada um dos sistemas.
5. Considere o

0

A=
 −1
−1

sistema linear AX = B, com



1 α α 


 1 , α ∈ IR .
,
B
=
2 1 



1 2
2

(a) Indique para que valores de α o