Folha1 GE

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Folha n.o 1

Ano Lectivo 2014/2015
I. CÁLCULO MATRICIAL
1. Matrizes: Operações com matrizes. Transposição de matrizes.
Condensação e característica de uma matriz. Matrizes invertíveis.
1. Considere as seguintes matrizes:


 


1 0 1
−1


 
0
−1
1


, C =  2 , D = 2 3 −1 ,
A=
0 2 2, B =
 
1 1 2
3 7 1
0


 se i = j

 2
 −j
E = [eij ]2×3, com eij =
3
se i < j , F = [fij ]3×3, com fij =

 0


−1 se i > j



se i = j

 1

e M = [mij ]8×8, com mij =
G = [gij ]5×5, com gij =
0
se i < j




−1 se i > j

se i = j se i = j

,

0

se i = j

3i

se i = j

.

(a) Indique, se possível, os seguintes elementos das matrizes dadas:
i. a31;

ii. b12;

iii. c32;

iv. d12 ;

v. m44;

vi. g45 .

(b) Indique, se possível:
i. a linha 2 de C;

ii. a linha 3 de E;

iii. a coluna 2 de F ;

iv. a coluna 5 de G;

v. a linha 7 de M;

vi. a coluna 2 de AT .

(c) Classifique as matrizes dadas em matrizes quadradas, rectangulares, triangulares (superiores ou inferiores), matrizes linha ou matrizes coluna.
(d) Identifique a diagonal principal das matrizes quadradas dadas.
(e) Efectue, se possível, as seguintes operações:
i. −4C;

ii. A + B; iii. A − F ; iv. E + 2B; v. DC;

vii. BA; viii. AB;

ix. EF ;

x. C T + D;

vi. CD;

xi. AB T .

(f) Determine, se possível, uma matriz X tal que 2B − X T = 0.
2. Sejam A = [aij ] ∈ M5 (IR) e B = [bjk ] ∈ M5×3 (IR).
(a) Escreva o elemento da matriz AB situado na linha 4 e na coluna 2.
(b) Escreva o elemento da matriz A2 situado na linha 3 e na coluna 5.
(c) Escreva o elemento da matriz A2 + A + I5 situado na linha 3 e na coluna 5.
1

3. Considere as seguintes matrizes:


20 40 60
 eB=
A=
20 30 70

105 105 5 × 104

.

Suponha que uma determinada padaria produz 3 tipos de pães, P1, P2 e P3 , utilizando para isso
2 tipos de cereais, C1 e C2 , e que cada elemento aij da matriz A é a quantidade (em gramas) de um determinado cereal Ci necessária para a produção de um pão Pj . Suponha