Fkps

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 11 (2532 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 25 de setembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Coordenadas Polares

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P=(a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento
OP, caso P≠O. Denotamos P=(r,θ) onde r é adistância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. Se P=O, denotamos P=(0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.

Exemplo.
Ponto Coordenada cartesiana Coordenada polar

E (1,1) (2,π/4) F (-2,2) ( 2,3π/4)
Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamossomente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r.

O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar.
Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário.
Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixopolar.
Exemplo. (1,–π/4) = (1, 7π/4)

Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.

Exemplo. (3,π/2) = (–3,3π/2)

(r,θ) = (r,θ+2π) = (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = | |
Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5,21π/2)
Mudança de coordenadas
Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita de O.
a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas
Seja P um ponto comcoordenadas polares (r,θ). Considerando inicialmente 0<θ<π/2, do triângulo retângulo OPx obtemos as seguintes relações:

Se θ=0, temos P no eixo das abcissas. Logo, P tem coordenadas cartesianas (x,0) e coordenadas polares (x,0) (r=x e θ=0). Assim, x = x×1 = r cos θ e y = 0 = r×0 = r sen θ.
Para os casos onde θ≥π/2, fica como exercício mostrar que também x = r cos θ e y = r sen θ.
b)Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares
Seja P um ponto com coordenadas cartesianas (x,y). Como vimos acima, considerando P com coordenadas (r,θ), temos as relações x=rcosθ e y=rsenθ.
Se r = 0, isto é, x = y = 0 então podemos tomar θ qualquer. Se r ≠ 0, θ é tal que cosθ = x/r e senθ = y/r.
Exemplo. Se P tem coordenadas polares (–2,π/3), então x=–2cos(π/3) e y=–2sen(π/3). Logo,x=–1 e y=−3, logo, P tem coordenadas cartesianas (–1, −). 3

Podemos também transformar equações cartesianas em polares e vice-versa.
Exemplo. A circunferência de centro na origem e raio 3 tem equação cartesiana x2+y2=9.
Como x = r cos θ e y = r sen θ então r2 = 9, ou seja, r=3 é a equação polar dessa circunferência.
Exemplo. Se uma curva tem equação polar r = cos θ + sen θ, multiplicandoambos os membros da igualdade por r, obtemos r2 = rcos θ + rsen θ. Logo, x2 + y2 = x + y. Manipulando essa equação chegamos em (x-½)2 + (y-½)2 = ½, ou seja, na equação de uma circunferência.
Exercícios. 1) Transforme coordenadas cartesianas em coordenadas polares:
a) (1,π/2) b) (–2,49π/6) | c) (3,−5π/3) d) (0,π/9) e) (7,π) |

a) (x-1)2 + y2 = 1 | b) (x+2)2 + (y-3)2 = 13 c) x = -2 d) y = 3 e) y= x |
2) Transforme coordenadas polares em coordenadas cartesianas: 3) Encontre a equação polar para cada uma das seguintes equações cartesianas. 4) Encontre a equação cartesiana para cada uma das seguintes equações polares.
a) r = 5 | b) r = 2sen θ c) r = 2cos θ - 4sen θ d) θ = π/3 e) sen θ = cos θ |

5) Encontre as equações polares das seguintes curvas:

Respostas. 1) a) (2,π/4) | b)...
tracking img