Ficha de mat

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Matemática A
Fevereiro de 2010

Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 5 de Maio de 2010, os itens de grau de
dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se
apresentam.

Matemática A – 10.º Ano de Escolaridade – Página 1

1.

Considere que um ponto T se desloca num segmento de recta ÒEFÓ,de comprimento "!, nunca
coincidindo com o ponto E nem com o ponto F. Cada posição do ponto T determina em ÒEFÓ dois
segmentos de recta, ÒET Ó e ÒFT Ó, sendo cada um deles lado de um quadrado, conforme se apresenta na
figura 1.
Para cada posição do ponto T , seja B a distância de T a E e
seja +ÐBÑ a soma das áreas dos dois quadrados, em função de B

1.1. Calcule +Ð#Ñ
1.2. Indique o domínioda função +
1.3. Mostre que +ÐBÑ œ #B#

#!B

"!!

1.4. Resolva a equação +ÐBÑ œ +Ð#Ñ e interprete as soluções no

Figura 1

contexto do problema.

2.

O Rui saiu de casa às 9 horas da manhã e, caminhando sempre à mesma velocidade, dirigiu-se ao café,
situado no fim da rua onde mora; a rua não tem curvas e o café fica a 600 metros da sua casa.
O Rui chegou ao café quando passavam 6minutos das 9 horas.
Esteve 10 minutos no café, a tomar o pequeno-almoço, tendo, em seguida, regressado a casa, caminhando
sempre à mesma velocidade, embora mais lentamente do que à ida.
Chegou a casa às 9 horas e 28 minutos.
Seja > o tempo, em minutos, contado desde o instante em que o Rui saiu de casa até ao momento em que
ele, vindo do café, chegou a casa.

2.1. Seja 0 a função que, acada valor de >, faz corresponder a distância, em metros, do Rui à sua
casa, no instante >

2.1.1. Desenhe o gráfico de 0 , numa folha de papel quadriculado, utilizando, para o efeito, as
escalas a seguir indicadas.
• No eixo das abcissas: 1 quadrícula Ä 2 minutos
• No eixo das ordenadas: 1 quadrícula Ä 50 metros

2.1.2. Indique o domínio e o contradomínio da função 0
2.1.3. Indique ovalor de 0 Ð#Ñ e interprete este valor, no contexto da situação.
2.1.4. Interprete, no contexto da situação, a equação 0 Ð>Ñ œ '!! e indique o seu conjunto
solução.

2.1.5. Indique o conjunto solução da equação 0 Ð>Ñ œ %!!
2.2. Seja 1 a função que, a cada valor de >, faz corresponder a distância, em metros, do Rui ao café,
no instante >

2.2.1.

Desenhe o gráfico de 1, no mesmo referencialem que desenhou o gráfico de 0

2.2.2.

Interprete, no contexto do problema, a equação 0 Ð>Ñ œ 1Ð>Ñ e indique o seu conjunto
solução.

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2

3.

A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia, saíram de casa à
mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila para Vilalta,utilizando a
única estrada que liga as duas localidadesÞ Ambas fizeram o percurso a pé.
Seja 0 a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, > minutos depois de ter saído
de Vilalta.
Seja 1 a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, > minutos depois de ter saído
de Altavila.

3.1. Em qual das opções seguintes podem estar representadasgraficamente as funções 0 e 1 ?
Numa pequena composição, explique por que é que as outras três opções são incorrectas,
apresentando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita.
(A)

(B)

(C)

(D)

3.2. Admita agora que:
• a estrada que liga Altavila a Vilalta tem ") 57
• a Rita se deslocou a uma velocidade constante de & 57Î2
• a Inês demorou mais &% minutos do que a Rita a chegar aoseu destino.
A que distância estava a Rita de Altavila, quando se cruzou com a Inês?

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 3

4.

A figura 2 representa um depósito com a forma de prisma quadrangular regular. Num determinado
instante, uma torneira, com um caudal constante, começa a deitar água no depósito, que inicialmente se
encontra vazio, terminando o processo quando o...
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