Ficha branca

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2.Qual a origem dos Nùmeros Triangulares?
Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero. Foi desenvolvido por Gausem 1788 quando ele tinha somente 10 anos. Para encontrar o n-ésimo número triangular a partir do anterior basta somar-lhe n unidades. Os primeiros números triangulares (sequência A000217 na OEIS) são:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Em geral, o n-ésimo número triangular é dado por:
[pic]
Explicação Simplificada
Número Triangular Natural vezes o mesmo número, mais 1, dividido por dois igual a resultado do número Triangular.
[pic] (1+2+3+4+...+n)
Tal conceito é utilizado de maneira mais generalizada em progressões aritméticas.

Propriedades
Tem-se:
[pic]
[pic]
Todoo número perfeito par é triangular
Os números triangulares de ordem ímpar são números hexagonais

3.Qual a origem dos Números Quadrados?
Quadrado em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...
Se denotarmos por Qn o enésimo quadrado perfeito, temos,portanto Qn = n2,n = 1,2,3,.... Pode-se, por completeza, definir Q0 = 0. Observe que Qn + 1 − Qn = (n + 1)2 − n2 = 2n+ 1 o que permite estabelecer a relação de recorrência Qn + 1 = Qn + 2n + 1.
Números quadrados
|Q1|= 1 |= |
| | |12 |
|Q2|= Q1 + 3 = 1 + 3 |= |
| | |22 ||Q3|= Q2 + 5 = 1 + 3 + 5 |= |
| | |32 |
|Q4|= Q3 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 |= |
| | |42 |
|Q5|= Q4 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 |= |
| | |52 |
|. |. |. |
|. |. |. |
|. |.|. |
|Qn|= Qn − 1 + (2n − 1) = 1 + 3 + 5 + ... |= n|
| |+ (2n − 1) |2 |

Dito de outra forma: a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n2, o que também já não era novidade na antiga Grécia: Qn = + 3 + 5 + ... + (2n − 1).
Relação com números triangulares
Tomemos a sequência dos n primeiros números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ ... + (2n − 1) e retiremos uma unidade de cada um, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n − 2), reservando os nelementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n − 1)), temos representado dois triângulos de ordem (n − 1).
Combinando os dois triângulos Tn − 1 com os n elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado Qn: 2.Tn − 1 + n = [(n − 1).n]+ n = n2 − n + n = n2.
[pic] 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
[pic] 211.T7 + 8 = 64
Teorema (Nicômaco, sec. I) [pic]Tn + Tn + 1 = Qn + 1
Teorema (Plutarco, sec I) [pic] Se T fôr um número triangular, então 8.T + 1 é um número quadrado.
A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:
8.Tn = 4(2.Tn) = 4[n.(n + 1)].Mas 4[n(n + 1)] = 4.n2 + 4.n, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.
Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos 4.n2 + 4.n + 1 = (2.n + 1).2, isto é, 8.154Tn + 1 = Q2n + 1.
[pic] 8.Tn + 1 = Q2n + 1 = Tn − 1 + 6.Tn + Tn + 1 !!!

4.Qual a origem dos Números Pentagonais?
A unidade é o primeiro Número Pentagonal, assim como foi o primeiro Número Triangular eo primeiro Número Quadrado, assim como vai ser o primeiro de "quase" tudo o que aqui se irá passar.
[pic] 
P(1)=1
O segundo Número Pentagonal é naturalmente o menor número de bolas com que podemos formar um pentágono, ou seja, P(2) = 5.
Para construir P(2) a partir de P(1) juntamos 4 bolas....
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