Fibonacci

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A matemática e a natureza
A matemática e a natureza

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar a Sucessão de Fibonacci, tais como suas aplicações e aparições nas diferentes ciências. Foram estudados neste trabalho vários assuntos, O enfoque principal está na investigação das principais propriedades
dessa sequência e na sua relação com o Número de e os exemplos presentes nanatureza.

Fabonacci

Na segunda metade do século XII, por volta do ano 1175, nasceu em Itália um dos mais importantes matemáticos da Idade Média. Leonardo de Pisa (1170 – 1250), mais tarde conhecido por Fibonacci. Fibonacci cedo manifestou interesse em aprender os segredos da Matemática. Acompanhou o pai nas suas viagens o que lhe permitiu contactar com o sistema de numeração árabe quando naEuropa Ocidental ainda se utilizava a numeração romana para efectuar registos de cálculos. No ano de 1202 publicou “Liber Abaci”, o livro do ábaco, onde explicava a utilização dos algarismos nas operações aritméticas. Nesta obra é também apresentado, entre outros assuntos, um problema que ganhou lugar de destaque na história da Matemática mais conhecida como sucessão de Fibonacci.

O que é a sucessãode Fibonacci?

A sequência de Fibonacci recebe esse nome em homenagem a Leonardo de Pisa, que era conhecido como Fibonacci. a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no seu livro “Liber Abaci”. Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos pôs o seguinte problema que sugere uma situação fictícia, onde os coelhos são colocadosnuma área em que nenhum coelho, externo ou interno, pode entrar ou sair do cercado;os coelhos não morrem de velhice, fome ou doença.



Para que um par de filhotes possa procriar, é necessário que se passe um mês após o seu nascimento e cada par de coelhos dá a luz a um único par de filhotes a cada mês. Estes serão aptos a procriar no próximo mês.Sendo assim, no primeiro mês, o mêsinicial, teríamos um par de coelhos (ainda filhotes).No mês seguinte ainda apenas um par de coelhos (agora adultos), no terceiro mês teremos o par inicial mais o seu par de filhotes.Ao quarto mês o par inicial dá a luz ao seu segundo par de filhotes, ficando um total de três pares de coelhos (o par inicial, o primeiro par de filhotes, agora adultos, e o segundo par de filhotes).

Notemos que nopróximo mês, o quinto, o número de pares de coelhos será a soma do número de pares de coelhos do mês atual, mais o número de pares de coelhos do mês anterior.Pois serão estes que irão contribuir com o acréscimo do número de coelhos para o próximo mês, já que quando chegar o quinto mês estarão aptos a procriar. Logo, o quinto mês terá cinco pares de coelhos: os três pares presentes no quarto mês,maisdois pares de filhotes, um par gerado pelo par inicial e o outro pelo primeiro par de filhotes que o par inicial teve.

Quais as propriedades interessantes presentes nesta sucessão?

A solução do problema recebeu o nome de sucessão de Fibonacci. Uma propriedade interessante nesta sucessao consiste no facto de esta sucessao apresentar um padrão consistente.O primeiro e segundo termo da sucessãoé 1 e todos os outros são obtidos pela soma dos dois termos precedentes.

Sucessão de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144 …

Outras propriedades interessantes da sucessao de Fibonacci:
* A soma dos n primeiros números de Fibonacci é igual ao segundo termo seguinte ao último, menos uma unidade.
u1+u2+u3+...+un = u2n+1-1
* A soma dos números de Fibonacci de ordem ímparé igual ao de ordem par seguinte.
u1+u3+u5+...+u2n-1 = u2n
* A soma dos números de Fibonacci de ordem par é igual à diferença entre o de ordem ímpar seguinte e a unidade.
u2+u4+u6+...+u2n = u2n+1-1
* A soma dos n primeiros números de Fibonacci tomados alternadamente com os sinais + e – é igual a (-1)n+1un-1 + 1.
u1-u2+u3- u4...+ (-1)n+1un = (-1)n+1un-1 + 1
* A soma dos quadrados...
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