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TRABALHO DE CONTROLE



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Considere um sistema de controle conforme figura abaixo:

a. Obtenha a função de transferência em malha fechada do sistema. Considere o distúrbio = 0, Kp ≠ 0, Ki = 0 e Kd = 0.

SOLUÇÃO Para obtenção da função de transferência seráutilizado o método de simplificação de diagrama de blocos. A simplificação é feita na sequência das malhas numeradas de 1 e 2.

Assim, para a malha 1, temos:

FT1 = C(s) / R(s) = [ G(s) ] / [ 1 + G(s)H(s) ] Substituindo os valores: G(s) = 1 / s² + s + 1 H(s) = 1 Então, FT1= 1 / s² + s + 2

Para a malha 2, temos:

FT2= C(s) / R(s) = [ G(s)1G(s)2 ] / [ 1 + G(s)1G(s)2H(s) ] Sendo: G(s)1 =Kp G(s)2 = 1 / s² + s + 2 H(s) = 1 Então, FT2= Kp / s² + s + ( 2 + Kp )

Logo a função de transferência do sistema é dada por: FT = Kp / s² + s + ( 2 + Kp )

b. Encontre a faixa de variação do ganho do controlador (Kp) para que o sistema seja estável. Verifique sua resposta utilizando o Simulink. Considere o distúrbio = 0, Kp ≠ 0, Ki = 0 e Kd = 0.

SOLUÇÃO 1 Para encontrar a faixa devariação do ganho do controlador (Kp) para que o sistema seja estável será utilizado o critério de estabilidade de Routh. Um sistema de controle é estável se e somente se todos os pólos a malha fechada estiverem situados no semiplano esquerdo do plano s. A condição necessária e suficiente para que todas as raízes fiquem no semi-plano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes da equação do denominadorda função de transferência sejam positivos e que todos os termos da primeira coluna do conjunto tabular tenham sinais positivos. A função de transferência do sistema é dada por: FT = Kp / s² + s + ( 2 + Kp ) O arranjo tabular do sistema é dado por:

Assim, para que toda a primeira coluna do arranjo tenha sinal positivo a desigualdade 2+Kp > 0 deve ser verdadeira. E assim, Kp > -2.

SOLUÇÃO 2Estabilidade de sistemas lineares e invariantes no tempo
Seja o diagrama esquemático de um sistema abaixo:

Fig. - Diagrama esquemático de um sistema.

O sistema é estável se toda a entrada limitada tem uma resposta limitada. Sistemas que são estáveis segundo esta definição são comummente chamados de BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output). A entrada (input) de um sistema lineare invariante no tempo pode ser decomposta na soma de parcelas correspondentes, cada uma delas, a cada um de seus pólos reais ou a cada par de pólos complexos conjugados. A saída (output) destes sistemas será também composta de parcelas, chamadas de ‘modos’, que são correspondentes às parcelas com que foi decomposta a entrada (input). Isso se deve ao fato de o sistema ser linear e ao conhecidoTeorema da Superposição da matemática.

A estabilidade de sistemas pode ser determinada pela localização dos pólos do sistema no plano complexo.

Fig. 8.2 – Plano complexo. Cada pólo no semi-plano da direita (SPD) implica em um ‘modo’ crescente na saída (i.e., a resposta transitória aumenta indefinidamente ou oscila com amplitude crescente para entrada impulso). Logo, sistemas que têm um ou maisdestes modos serão sistemas instáveis. Cada pólo no eixo imaginário implica em um ‘modo’ em que a resposta transitória permanece constante ou oscila com amplitude constante (i.e., para entrada impulso, a resposta transitória não aumenta indefinidamente nem oscila com amplitude crescente, mas entretanto não decresce). Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos poderão não ser sistemasinstáveis mas também não serão sistemas estáveis. Finalmente, cada pólo no semi-plano da esquerda (SPE) implica em um ‘modo’ dominante decrescente. Portanto, é necessário que TODOS os pólos do sistema estejam no SPE para que ele seja um sistema estável. Um pólo que não esteja no SPE causará um ‘modo’ crescente ou constante e isso arruína a estabilidade tornando-o um sistema instável. Um sistema é...
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