Fenomenos de transporte

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Aplicação do método de Eliminação de GAUSS em Matlab

Felipe Nunes1 felipenl12@gmail.com

Yuri Franklin2 yuri.fr@uol.com.br

Lúcio Cardoso3 duducardosl@hotmail.com

1 Associação Educacional Dom Bosco (AEDB), Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil 2 Associação Educacional Dom Bosco (AEDB), Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil 3 Associação EducacionalDom Bosco (AEDB), Faculdade de Engenharia de Resende - Resende, RJ, Brasil

Resumo Neste trabalho apresentaremos o método de Eliminação de Gauss que consiste transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente, com matriz dos coeficientes triangular superior de resolução imediata, ou seja, Ax=b num outro A'x=b', e para isso se utilizando uma estratégia de pivoteamento minimizandoassim possíveis erros de arredondamento. Para transformar esse sistema inicial em um equivalente mais simplificado uma seqüência de passos elementares que se traduz em: troca da ordem das equações; multiplicação de ambos os membros de qualquer das equações por uma constante não-nula; e adição de um múltiplo de uma das equações a uma outra equação do sistema, será mostrada, finalizando o trabalhocom um exemplo resolvido para melhor visualização. Vale ressaltar que este método foi implementado em Matlab. Palavras-chave: Eliminação de Gauss, Sistemas lineares, Matlab.
Introdução Eliminação de Gauss é um método muito utilizado para resolver sistemas lineares, transformando o sistema original em um equivalente simplificado de mesma solução. Para esta modificação aplica-se sobre as equaçõesdo sistema Ax=b uma seqüência de operações elementares escolhidas entre: i) trocar duas equações; ii) multiplicar uma equação por uma constante não-nula; iii) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação. Objetivo • Aprender um novo método para resolução de Sistemas Lineares; • Implementar um programa do método de eliminação Gauss em Matlab.

Desenvolvimento Seja Ax=b um sistemalinear, em que A é uma matriz quadrada n x n.

 a11 L L a1n   x1   b1   M O M  M   M     =    M O M  M   M       an1 L L ann   xn  bn 
(1) O método consiste em eliminar todos elementos aij, i>j modificando sistemas lineares de forma a obter um sistema equivalente com uma matriz triangular superior, pois este é mais simples e de fácil resolução, ou seja, dadaatravés de substituições.

Então este é o procedimento para casos de n equações lineares simultâneas em n variáveis. Passos Admitimos que as equações tenham sido ordenadas de modo que akk ≠ 0 e definindo-se n-1 multiplicadores, teremos: Eliminação

Estratégias de pivoteamento Para não se ter pivô nulo o que tornaria o trabalho impossível, e para se evitar trabalhar com pivô próximo de zero o quepode conduzir a resultados totalmente imprecisos, devemos contornar esses problemas utilizando uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal. Estratégia de pivoteamento parcial Esta estratégia consiste em: i) no início da etapa k da fase de eliminação, escolher para pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes.
( aikk −1) , i = k , k +1,L, n

 Para k = 1, K , n − 1    Para i = k + 1, K , n  a ik m = a kk    a ik = 0    Para j = k + 1, K , n   a = a − ma ij kj   ij  bi = bi − mbk 
Após eliminarmos xn-1 da última equação, o sistema triangular final é dado por:

(3) ii) trocar as linhas k e i se for necessário. Estratégia de pivoteamento completo Nesta estratégia, no início da etapa k é escolhido parapivô o elemento de maior módulo, entre todos os elementos que atuam no processo de eliminação:
( ( ( máx aijk −1) = arsk −1) ⇒ pivô = arsk −1)

a11 L L a1n   x1   b1  0 O M  M   M     =    M 0 O M  M   M        0 L 0 ann   xn  bn 
(2) A substituição regressiva então produz a solução como se segue:

∀i, j ≥ k
(4) Fatoração de Matrizes (Método LU) Os...
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