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21/02/2010

CAPITULO

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Notas de Aula: Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4ª edição-2006 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004 -MECÂNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON-5ª edição-2003 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

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Colunas

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estabilidade das Estruturas
• No projeto de colunas, a área da seção transversal era determinada, visando a sua Resistência e Rigidez, tal que: - a tensão admissivelnão fosse excedida
s  P  s adm
A

- A deformação especificações

PL   spec AE

estivesse

dentro

das

• Agora estaremos preocupados também com a sua estabilidade, isto é, que a coluna não venha a flambar sob a ação do carregamento a que será submetida.

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1

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estabilidade das Estruturas
•Considere o modelo com duas barras e uma mola de torção. Após uma pequena perturbação,
K (2Dq )  Momento da mola L L P senDq  P Dq  Momento da carga 2 2

Como: sen∆θ = ∆θ • A coluna é estável (tende a retornar para posição vertical) enquanto: L 4K P Dq  K (2Dq )  P  Pcr  2 L

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Estabilidade das Estruturas
• Se a carga P éaumentada. Após a perturbação, o sistema assume uma nova configuração e o ângulo passa de D q para q

P

L senq  K (2q ) 2 PL P q   4K Pcr senq

• Note que sinq < q , e a configuração assumida só é possível se P > Pcr.
O valor de θ é encontrado por tentativas.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Fórmula de Euler Para ColunasBi-Articuladas
• Uma coluna pode ser considerada como uma viga colocada na vertical. Após uma perturbação o sistema encontra uma posição de equilíbrio, tal que:
d2y dx
2

 

M P  y EI EI P y0 EI
Eq. Dif. de 2ª ordem.

d2y dx 2

Cuja solução geral é:

Condições de Contorno: x=0 => y=0 => B=0 x=L => y=0 => Asen(pL)=0 => sen(pL)=0 => pL= nπ

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF.GILFRAN MILFONT

Fórmula de Euler Para Colunas Bi-Articuladas
• As configurações assumidas em função de n, são mostradas ao lado. Como: P1 < P2 < P3, a coluna irá flambar com P1, ou seja n=1. Então:

L/r= λ = indice de esbeltez

 2 EI Pcr  2 L P  2 E (Ar 2 )  2 E s cr  cr   A L2 A (L r )2
Equação da linha elástica na flambagem.

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Fórmula de Euler Para Colunas Bi-Articuladas
• Ensaio de um aço com E=200GPa e tensão de escoamento de 250MPa.  2 EI
P  cr

s cr s cr

L2 P  cr A  2 E Ar 2  L2 A 2  E   tensão crítica (L r )2

(

)

L  índice de esbeltez r

λ = índice de esbeltez
• A análise feita aqui é limitada a cargas centradas.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULASPROF. GILFRAN MILFONT

Fórmula de Euler Para Outras Condições de Extremidades
• Uma coluna com uma extremidade engastada e a outra livre, terá o mesmo comportamento quanto à flambagem que uma coluna bi-articulada de comprimento duas vezes o comprimento desta. • A carga crítica é calculada pela fórmula de Euler, substituindo L por Le  2 EI
Pcr  L2 e

s cr 

 2E

(Le r )2

Le  2 L equivalent length comprimento equivalente

λe = Le/r índice de esbeltez equivalente.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Comprimentos Equivalentes

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Exemplo 10.1
Uma coluna de aluminio de comprimento L e seção retangular tem a sua extremidade B engastada e suporta uma...
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