falsapppp

Partimos de um intervalo inicial [ a 0 , b 0 ] com f ( a 0 ), e f ( b 0 ) de sinais opostos, assegurando que no interior existe pelo menos uma raiz, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário. O objetivo do algoritmo é obter em cada passo um menor intervalo [ a k , b k ] que ainda contenha uma raiz da função f. No número de iteração k, temos:

c_k = b_k-\frac{f(b_k) (b_k-a_k)}{f(b_k)-f(a_k)} onde ck é calculado. Ck é a raiz da secante por meio de ( a k , f ( a k )) e ( b k , f ( b k )). Se f ( a k ) e f ( c k ) têm o mesmo sinal, então montamos um k 1 = c k e b k 1 = b k , caso contrário, vamos definir um k 1 = a k e b k + 1 = c k . Este processo é repetido até que seja encontrada uma raiz aproximada, suficientemente compatível com o erro máximo estimado. A fórmula acima é também utilizada no método da secante, mas o método da secante sempre retém os últimos dois pontos calculados, ao passo que o método de posição falsa retém dois pontos que, certamente, próximo a eles há uma raiz. Por outro lado, a única diferença entre o método da falsa posição e o método da bissecção é que o último usa c k = ( a k + b k ) / 2.

Análise de Convergência[editar | editar código-fonte]
Podemos mostrar que, sob certas condições, o método de posição falsa tem convergência linear, de modo que tende a convergir mais lentamente para a solução da equação do método da bisseção, mas ao contrário do método da bisseção o método da falsa posição sempre converge para uma solução da equação. O algoritmo tem a desvantagem de que, se a função é convexa ou côncava próximo da solução, o ponto do intervalo mais distante da solução fica fixo, variando somente na sua vizinhança, convergindo muito lentamente. Um exemplo disso ocorre na seguinte função:

f(x) = 2x^3-4x^2+3x\, começando com [-1,1]. O termo a esquerda do intervalo, -1, nunca muda, e o extremo direito, 1, se aproxima de 0 linearmente.

A situação em que o método falha é fácil de ver e fácil de corrigir, escolhendo um ck