Exponencial de matrizes

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[Indíce]
[Introdução]
[Descrição do ficheiro ExpMatriz.MTH e exemplos]
[Listagem do ficheiro ExpMatriz.MTH]
[Agradecimentos e Referências]

2. Exponencial de matrizes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, de coeficientes complexos. Para qualquer número real t, a série [pic] é (absolutamente) convergente, pelo que podemos definir uma função de variável real pondo [pic]. Prova-seque esta função é diferenciável em qualquer ponto do seu domínio e que [pic]. Mais precisamente, tem-se o seguinte resultado:


Teorema 1
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Então [pic] é a única solução do problema de valor inicial
[pic]

Demonstração: ver, por exemplo, (Ap2(.

Observação:
A exponencial assim definida tem muitas propriedades em comum com a função exponencialusual: por exemplo, [pic]. Não é, no entanto, válido que [pic] para matrizes A e B quaisquer (apresentaremos mais adiante um contra-exemplo), embora isto seja válido se [pic]

A solução do sistema homogéneo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes definido por [pic] com condição inicial [pic]onde [pic] é um vector de dimensão n, é dada pois por [pic]. Daqui resulta aenorme importância de dispôr de processos práticos para calcular [pic]. É imediato constatar que o cálculo directo a partir da série definidora é, em geral, impraticável, a não ser em casos muito particulares (matrizes diagonais, por exemplo). Começaremos por demonstrar uma proposição simples que vai permitir resolver o problema para matrizes 2x2 e 3x3.


Em tudo o que se vai seguir,consideraremos sempre as matrizes sobre o corpo complexo, ainda que os seus coeficientes sejam reais. Assim, os valores próprios coincidem com as raízes (em C) do polinómio característico. Diremos que um valor próprio é simples, duplo, triplo,.... quando ele for raíz simples, dupla, tripla,... do polinómio característico; quando falarmos da multiplicidade de um valor próprio, estaremos sempre aconsiderar a multiplicidade algébrica. Adoptamos ainda a convenção de que o grau do polinómio idênticamente nulo é [pic] .




Teorema 2
Seja A uma matriz de ordem n. Então:

a) se todos os valores próprios de A são iguais a ( tem-se
[pic].

b) se A tem n valores próprios distintos[pic][pic], então
[pic]
sendo [pic]

c) se A tem 2 valores próprios distintos, ( e (, de multiplicidades[pic] e 1, respectivamente, vem

[pic].


Demonstração:
a) [pic]; como o polinómio característico de A é [pic], segue-se que [pic], pelo teorema de Cayley-Hamilton, donde o resultado.

b) Seja [pic]; vamos ver que F é solução do problema de valor inicial [pic], donde se seguirá que [pic], pelo teorema 1.

[pic]Tem-se [pic]; como o polinómio característico de A é [pic], segue-se que [pic],para [pic] pelo teorema de Cayley-Hamilton, donde [pic]. Falta só provar que [pic], ou seja, que [pic].

Considerem-se os polinómios em x definidos por [pic]; é imediato que se trata de polinómios em x de grau [pic], que verificam [pic] e [pic]. Conclui-se que [pic] é um polinómio de grau menor ou igual a[pic] que tem n raízes distintas [pic] e é pois idênticamente nulo. Portanto, [pic] elogo [pic], como queríamos.

c) Tem-se que:
[pic] (*)


Como
[pic],

conclui-se que
[pic];

como o polinómio característico de A é [pic], segue-se que o primeiro membro desta igualdade é nulo (pelo teorema de Cayley-Hamilton), donde [pic]. Por aplicação repetida desta fórmula, vem que [pic] e portanto

[pic][pic]

Substituindo esta fórmula na última linha de (*), segue-se oresultado.


O teorema 2 resolve completamente o problema do cálculo de [pic] para matrizes 2x2 e 3x3. Para matrizes 2x2, os resultados das duas primeiras alíneas são suficientes: uma matriz 2x2 ou tem um valor próprio duplo ou dois valores próprios distintos; no primeiro caso, aplica-se a fórmula da alínea a) e no segundo a fórmula da alínea b). Passando às matrizes 3x3, há três...
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