Exercícios
28344 palavras
114 páginas
Dep. Matem´tica Pura. FCUP a ´ALGEBRA LINEAR II
Resumo das aulas te´ricas e pr´ticas o a
1.o ano da licenciatura em Matem´tica a Ano lectivo de 2005/06
Jo˜o Nuno Tavares a ´
INDICE:
1 Determinantes. Produtos vectorial e misto (ou triplo) em IR3
1.1
1.2
1.3
Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
Produto vectorial. Produto misto (ou triplo) em IR . Interpreta¸˜o geom´trica ca e do determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Interpreta¸˜o geom´trica do det A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca e
8
2 Espa¸os vectoriais com produto interno c 10
2.1
Espa¸os Euclideanos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 10
2.2
Espa¸os Hermitianos (ou Unit´rios) complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c a
13
2.3
Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5
Aplica¸˜es ` geometria co a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Bases ortonormadas num espa¸o vectorial com produto interno . . . . . . . . . . c 20
2.7
M´todo de ortogonaliza¸˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ca
20
2.8
Decomposi¸˜o ortogonal. Teorema da aproxima¸˜o ´ptima . . . . . . . . . . . . . ca ca o
22
2.9
Aplica¸˜es. M´ co ınimos quadrados
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.10 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3 Subespa¸os invariantes. Subespa¸os pr´prios. Valores pr´prios c c o o
36
3.1
Conjuga¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 36
3.2