Exercícios resolvidos cap 4 Kittel - Estado Sólido

Lista 4 de estado s´olido
Fabio Andreozzi Godoy
16 de outubro de 2006

Exerc´ıcio 1 (4 do Kittel) item a
Multiplicando F pelo complexo conjugado F ∗:
1 − exp[−iM (a∆k)]
1 − exp[iM (a∆k)]
1 − exp[−i(a∆k)]
1 − exp[i(a∆k)]
1 − exp(iM α) − exp(−iM α) + 1
=
1 − exp(iα) − exp(−iα) + 1
2 − 2cos(M α)
=
2 − 2cos(α) sin2 (M α)/2
=
sin2 (α)/2

|F |2 = F ∗ F =

(1)

Onde fizemos α = a∆k e usamos as rela¸c˜oes cos(x) = 1 − 2sin2 (x/2) e cos(x) = ex +e−x
.
2

item b
Vamos procurar os zeros do numerador em (1) usando a expans˜ao sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a). sin[M (2πh + )/2] = sin(M πh)cos(M /2) + sin(M /2)cos(M πh)
= sin(M /2)

(2)

= 0 =⇒ M /2 = nπ
Para o primeiro zero n = 1 e temos

= 2π/M .

Exerc´ıcio 2 (5 do Kittel) item a
Os oitos pontos da base do diamante quando tratado como uma rede SC s˜ao: a a a (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)
2
2
2
e

a a a a (1, 1, 1), (−1, 1, −1), (−1, −1, 1), (1, −1, −1)
4
4
4
4
1

→
−
E o vetor da rede rec´ıproca K = (n1 b1 , n2 b2 , n3 b3 ), portanto o fator de estrutura ser´ a dado por:
Sk = 1 + eiπ(n1 +n2 ) + eiπ(n1 +n3 ) +
+ eiπ(n2 +n3 ) + eiπ(n1 +n2 +n3 )/2 + iπ(−n1 −n2 +n3 )/2

+e

(3)

iπ(−n1 −n2 +n3 )/2

+e

iπ(−n1 −n2 −n3 )/2

+e

item b
Manipulando a equa¸c˜ ao 3 anterior:
Sk = (1 + eiπn/2 )(eiπ(n1 +n2 ) + eiπ(n2 +n3 ) + eiπ(n1 +n3 ) )

(4)

O primeiro fator ser´ a zero quando n = 4m+2 onde m ´e um inteiro e o segundo fator ser´ a zero quando n1 , n2 ou n3 for de paridade diferente dos demais. Para reflex˜ oes as condi¸c˜ oes s˜ ao: n ´e par ou n = 4m com todos n1 , n2 , n3 pares.

Exerc´ıcio 3 (6 do Kittel)
O´
atomo de hidrogˆenio ´e esfericamente sim´etrico e o fator de forma ´e dado por: fj = 4π

drexp(−2r/a0 )r2

sin(Gr)
Gr

(5)

Substituindo n(r) = exp(−2r/a0 )/πa30 e efetuando a integral: fj =

16
(4 + G2 a20 )2

(6)

Exerc´ıcio 4 (7 do Kittel) item a
Se fizermos a linha de ´
atomos