Exercícios cálculo i

RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS: CÁLCULO 1 CAPÍTULO 4 Professores Inder Jeet Taneja e Rubens Starke. 1. Em cada item devemos examinar o lim

Δx → 0

f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) . Δx

1.1

f ( x ) = x − 3 ; x0 = 4 .
Δx → 0

lim

f (4 + Δx ) − f (4) 4 + Δx − 3 + 1 = lim Δx → 0 Δx Δx 4 + Δx − 2 4 + Δx + 2 = lim Δx → 0 Δx 4 + Δx + 2

(

(

)(

)

)

= lim

Δx → 0

Δx

(

1 = . 4 4 + Δx + 2

Δx

)

1.2

Portanto o gráfico admite reta tangente no ponto (4, −1) e seu coeficiente angular é 1 . 4 1 Achar a equação: y = x + b . Para achar b substituímos x por 4 e y por −1 , 4 x obtendo b = −2 . A equação da reta tangente é: y = − 2 . 4 se x ≤ 0 ⎧ ⎪ x, f ( x) = ⎨ , P(0,0) ; x0 = 0 . ⎪ x , se x > 0 ⎩

Como a função está definida através de 2 sentenças, uma à esquerda e outra a direita de 0, devemos calcular os limites laterais: lim− f (0 + Δx ) − f (0) Δx − 0 = lim− = 1. Δx → 0 Δx Δx f (0 + Δx ) − f (0) Δx − 0 1 = lim+ = = +∞ . Δx →0 Δx Δx Δx

Δx → 0

e
Δx → 0

lim+

Como os limites laterais são diferentes e não são ambos infinitos, o gráfico não possui reta tangente nesse ponto. 1.3 f ( x ) = x 2/3 ; x0 = 0 .

( Δx ) f (0 + Δx ) − f (0) lim = lim Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx

2/3

= lim

1

Δx → 0

( Δx )

1/3

= lim

Δx → 0 3

1 . Δx

Agora note que este limite não é finito. Mas os limites laterais são ambos infinitos, ou seja, 1 1 lim− 3 = −∞ e lim+ 3 = +∞ . Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx
1

Concluímos que a reta tangente é x = 0 que é o eixo Y . 2) a) f ′(1) = lim f (1 + Δx ) − f (1) Δx → 0 Δx 1 + 3Δx + 3Δx 2 + Δx 3 − 5 − 5Δx + 1 + 3 = lim Δx → 0 Δx 2 −2Δx + 3Δx + Δx 3 = lim Δx → 0 Δx = lim ( −2 + 3Δx + Δx 2 ) = −2.
Δx → 0

b)

f ′( x ) = lim

f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx → 0 Δx 3 x + 3x 2 Δx + 3 xΔx 2 + Δx 3 − 5 x − 5Δx + 1 − x 3 + 5 x − 1 = lim Δx → 0 Δx 3 2 3 Δ x + 3 x Δx + Δ x = lim = 3x 2 − 5. Δx → 0 Δx

3.

Devemos calcular as derivadas laterais a) f −′ (3) = lim−
Δx →0

f (3 + Δx ) − f (3) Δx 2(3 + Δx ) 2 +