Exercicos de algebra linear - matrizes, produto escalar, produto vetorial, produto misto.

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Álgebra Linear Lista de Exercícios #1
a 1 ≤ i ≤ 2 1. Para  definem-se as matrizes A[aij] e B[bij] como sendo: A =  11 a21 1 ≤ j ≤ 2 b  b B =  11 12  . Com base nesta definição: b21 b22  a12  a22  

 x1 j = b1 j e y1 j = a1 j  a) Construa as matrizes X[xij] e Y[yij] de maneira que:   x2 j = a 2 j e y 2 j = b2 j 

b X =  11 a 21

b12   a11 a12   Y = b  a 22  21 b22 

b) Calcule A + B − A − B − X − Y

a12   b11 b12   a11 + b11 a A + B =  11 + = a 21 a22  b21 b22  a 21 + b21 a +b a12 + b12 A + B = 11 11 = a 21 + b21 a 22 + b22 a11 + b11 a 21 a11 a21 a12 a 22 a12 + b12 a 22 b11 a21 + a11 + b11 b21 a11 a12 a12 + b12 b22 b11 =

a12 + b12  a 22 + b22  

+

b12 a 22

+

b21 b22

+

b12

b21 b22

= A+ X +Y + B

portan to : A+ B − A − B − X − Y = 0

_____________________________________________________________________

1

a )  2. Prove que, para [A]2x2 e [B]2x2, prove que:  b) 

A+ B ≠ A + B AB = A . B

[dica]: no item a), use os resultados do ex.1 para resolver. a) A + B ≠ A + B No exercício 1b foi demonstrado que

A+ B = A + B + X + Y

,

portanto

A + B = A + B se e somente se X + Y= 0 . Assim, A + B não é sempre igual a A + B . Quando isso acontece, diz-se, genericamente, que A + B ≠ A + B b) AB = A . B

[AB ] =  
AB =

a11 a 21

a12  b11 b12   a11b11 + a12b21 . = a22  b21 b22  a21b11 + a 22b21    a11b12 + a12b22 = a 21b12 + a 22b22

a11b12 + a12b22  a21b12 + a22 b22  

a11b11 + a12b21 a 21b11 + a 22b21

a11b11 + a12b21 a 21b11 a11b11 a21b11a11b12 + a12b22 a11b11 + a12b21 + a 22b21 a 21b12 a12b22 a11b11 + a 21b12 a 22b21

a11b12 + a12b22 = a 22b22 a12b22 = a 22b22

a11b12 a12b21 + a 21b12 a21b11

a11b12 a12b21 + a 22b22 a22b21

a11a21

b11 b12 b b b b b b + a12 a21 21 22 + a11a22 11 12 + a12 a 22 21 22 = b11 b12 b11 b12 b21 b22 b21 b22 1 24 4 3 1 24 4 3
=0 =0

a12 a21

b21 b22 b b b b b b + a11a 22 11 12 = −a12 a 2111 12 + a11a22 11 12 b11 b12 b21 b22 b21 b22 b21 b22 a12 = B . A = A. B a 22

(troca de linhas )

b11 b12 b b a (a11a22 − a12 a21 ) = 11 12 . 11 b21 b22 b21 b22 a 21 portanto: AB = a11b11 + a12b21 a21b11 + a22b21

a11b12 + a12b22 a11 = a21b12 + a22b22 a 21

a12 b11 b12 . = A. B a 22 b21 b22

Note que AB = A . B sempre, sem que nenhuma restrição precise ser analisada._____________________________________________________________________

2

3. Multiplique as seguintes matrizes (mostre as contas feitas e simplifique onde for possível):
x − 1 x   x 1 x B=   2  x +1 x  − 1 − 2 x  − x2 + 2x   x2 + x − 2x3 

a. A= 

x − 1  1 x   x − ( x − 1) x 2 − 2 x(x − 1)   x 1 =  x + 1 x 2  − 1 − 2 x  =  2 3 x( x + 1) − 2 x   x + 1 − x 2     x +1− xb. A= 

x +1 −1  x −1 1  2 − x  x B=  2 x −1 x + 1   x  x   

2  x + 1 − 1   x − 1 1   ( x + 1)(x − 1) − x 2 − x . 2  = 2− x 2 2 .x x + 1 (x − 1) + x −1  x   x   x

(x + 1) − (x + 1)  − 1 = (x − 1) + 2 − x (x + 1)  1 
x 

0 2 x 

 1 2 − 3  1 − 1 − 1 3 2  x B= − 3 2 1  c. A= 1    − 1 − 1 1  1 2 3    
-8 AxB = -2 3 -3 3 1-8 2 3

 x  d. A= − x  0   x − x   0 x x2 x

x x2 x

1 1 x x  x B=  2 − 4 − 1 − 1   1 4 x 0   

1 x x 1   x2 + 2x +1 x 2 − 4x + 4 x−x    2 − 4 − 1 = − x 2 + 2 x 2 − 1 − x 2 − 4 x 2 − 4 − x − x 2  = − 1        x  1 4 0   2x + x − 4x + 4x −x  

 ( x + 1)2  (x − 2)2 0   2 ( x + 1)( x − 1) − 5 x − 4 − x( x + 1)  3x 0 −x   _____________________________________________________________________

3

x y  4. Dada a matriz [A]=   , calcule:  z w a. determinante de [A] = det[A]
det[ A] = xw − zy

b. determinante da matriz de cofatores de [A] = det{cof[A]} x y   w − z A=  ⇒ cof [ A] = − y x  ⇒ det{cof [ A]} = xw − zy  z w   c. [A].cof[A]

[A]× cof [ A] =  

x

z

y   w − z   xw − y 2 × =...
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