Exercicios e solucoes calculo 2

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898

IIII

CÁLCULO

13. (a) Escreva uma expressão como limite para a derivada

16. (a) Seftem

direcional de f em (xo' Yo) na direção do vetor unitário u = (a, b). Como interpretá-Ia como taxa de variação? Como interpretá-Ia geometricamente? (b) Se f é diferenciável, escreva uma expressão para DJ(xo'yo) em termos defx

um máximo local em (a, b), o que você pode dizer de suas derivadasparciais em (a, b)? (b) O que é um ponto crítico de f?

17. Qual é o Teste da Segunda Derivada?

«t,

14. (a) Defina o vetor gradiente Vfde uma funçãofde

duas ou três variáveis. (b) Exprima Doi em termos de Vf. (c) Explique o significado geométrico do gradiente.

18. (a) O que é um conjunto fechado em 1R2? que é um conO junto limitado? (b) Dê o enunciado do Teorema dos Valores Extremopara as funções de duas variáveis. (c) Como achar os valores que o Teorema dos Valores Extremos garante existirem? 19. Explique como o método dos multiplicadores de Lagrange funciona para determinar os valores extremos de f (x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = k. E se tivermos uma segunda restrição h(x, y, z) = c?

15. O que as seguintes sentenças significam?

(a)ftem (b)ftem (c)ftem(d)ftem (e)ftem

um um um um um

máximo local em (a, b). máximo absoluto em (a, b). mínimo local em (a, b). mínimo absoluto em (a, b). ponto de sela em (a, b).

TESTES VE RDAD EI RO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa. I. f(a,b)
y

7.

Seftem um mínimo local em(a, b) efé diferenciável e (a, b), então Vf(a, b) = O. Sefé uma função, então
(x,y)~(2,5)

=

f(a,y) lim -----y-ob

- f(a,b) y-b

8.

lim

f(x,y)=f(2,5) Vf(x,y)

2.

Existe uma função f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais quefx(x, y) = x + e i'y(x,y) = x

9.

Sef(x,y)

=

lny,então

=

l/y.

-i.

i

10. Se (2, 1) é um ponto crítico defe

3.I.
xy

a}"
=--

Lxr (2, l)f
então
= f'z(x,y,z)

yy

(2,1)

< [fxy (2, 1)]2

dX

ay
~ L quando (x,y) ~ (a, b) ao longo de toda reta
lim(X,y)->

f tem um ponto de sela em (2, 1).
= sen x

4. 5.

DJ(x,y,z) Sef(x,y)

11. Sef(x,y)

+ sen y, então --12 ~ Duf(x,y) ~,-::-

que passa por (a, b), então 6.

(a,b/(x, y)

=

L.

12. Sef(x, y) tem dois máximos locais,então f tem um nimo local.

Se fx(a, b) e i'y(a, b) existem, então f é diferenciável em
(a, b).

EXE RcíCIOS
1-2 Determine e esboce o domínio da função. I. f(x,y)
= =

7.

ln(x

+y +

1)

Faça um esboço de um mapa de contorno da função gráfico está mostrado. z

2. f(x,y)

-/4 - ~ -l + VI 1 _ y2

x2

3-4 Esboce o gráfico da função. 3. f(x,y) 4.f(x,y)
=

=

x

2

2y

i +

(y -

2/
8. e
X

5-6 Esboce várias curvas de nível da função. 5. f(x,y)
=

V4x2

+l

6. f(x,y)

=

+y

Um mapa de contorno de uma função f é apresen Use-o para fazer um esboço do gráfico daf.

DERIVADAS PARCIAIS

1111

899

y

(concentração de sal em partes por milhar, o que significa o número de gramas de sólidos dissolvidos por 1 000 g de água) e D éa profundidade abaixo da superfície do oceano (em metros). Calcule aC/aT, aC/as, aC/aD quando T = 10 °C, S = 35 partes por milhar e D = 100 m. Explique o significado físico dessas derivadas parciais.
19-22 Determine ordem def. 19. f(x,y)
=

todas as derivadas parciais de segunda 20. z 22. v xe -2y r cos(s

4x

3

k I

xl
li!

= =

-10 Calcule o limite ou mostre que ele não existe.21. f( x,y,z ) =xyz 23. Se z = xy

+ 2t)
=

(x.yHI·I)X

· 1un

2xy 2 + 2y 2

10.

(.r.y)->(O.O)

li im

2xy 2 2 x + 2y

+ xe'"; mostre que x + sen
õ:
õx

I

aZ

+Y-

az ay

xy

+

z.

I. Uma placa de metal está situada no plano xy e ocupa o

ax 24. Se Z = sen(z
t), mostre que

retângulo O ~ x ~ 10, O ~ y ~ 8, onde x e y são medidos em metros. A...
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