Exercicios resolvidos moyses

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Problemas Resolvidos

VETORES
Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar

PROBLEMA 1

Dois vetores, cujos módulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um ângulo de (a) 0°,

(b) 60°, (c) 90°, (d) 150°, e (e) 180°. Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultantecom
relação ao menor vetor.
SOLUÇÃO

Seja |a |  6 e |b |  9 e vamos escolher a direção Ox na direção e no sentido do vetor a. Na Figura 1,

c  a  b, representa a soma dos vetores a e b,  é o ângulo entre esses vetores e  é a direção da resultante com
relação vetor a (menor vetor). De acordo com o que vimos em classe, a soma de dois vetores, em termos das
componentes, pode ser escritacomo
cx  ax  bx, cy  ay  by → c  cx i  cy j
de onde podemos calcular a direção de c em relação ao eixo Ox, usando a expressão
cy
cy
tg   c x →   arctg c x
Como a direção de Ox coincide com a direção do vetor a, o angulo  é também o ângulo entre o vetor resultante c e o
vetor a, que o problema pede. Com base na figura, vamos calcular o vetor resultante c e sua direção em relação aa
para cada um dos casos mostrados.
y

y
y

b

c
α = 0º

c

a

x

b
(a)

θ = 60º

α

θ = 90º

α

x

a

b

c

a

(b)

x
(c)

y
y
j

b
c

θ = 150º

α

i

a

α = 180º

b
x

c

(d)

x

a
(e)

Figura 1 Representação geométrica de c  a  b
(a) Componentes:
a x  a  6, b x  b  9
a y  0,

by  0



c x  6  9  15
cy 0

 c  15 i

Logo,
c  10, 5 i  3 3 j 

c  15
  0º

(b) Componentes:
Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen

Departamento de Física

1

Universidade Federal do Amazonas

a x  a cos 0º  6, b x  b cos 60º  9  0, 5  4, 5


3
 7, 8
a y  a sen 0º  0, b y  b sen 60º  9 
2

c x  6  4, 5  10, 5
c y  0  7, 8  7, 8

 c  10, 5 i  7, 8 j

Logo,
c

c 10, 5 i  7, 8 j

10, 5 2  7, 8 2  13, 1

  arctg

7, 8
10, 5

≃ 37º

(c) Componentes:
a x  a  6, b x  b cos 90º  0
a y  0,

cx  6  0  6



b y  b sen 90º  9

cy  0  9  9

 c  6i9j

Logo,
c

6 2  9 2  36  81  10, 8
  arctg 9 ≃ 56º
6

c  6i9j

(d) Componentes:
a x  a  6, b x  b cos 150º  9 
a y  0,



3
2

 −7, 8

b y  b sen 150º  9  0, 5  4, 5

c x  6 − 7, 8  −1, 8
c y  0  4, 5  4, 5

 c  −1, 8 i  4, 5 j

Logo,
c  −1, 8 i  4, 5 j

c

−1, 8  2  4, 5 2  4, 8

  arctg

4, 5
−1, 8

≃ 100°

(e) Componentes:
a x  a  6, b x  b cos 180º  9  −1   −9
a y  0,

b y  b sen 180º  9  0  0



c x  6 − 9  −3
cy  0  0  0

 c  −3 i

Logo,
c −3 i

c3
  180º
★★★

PROBLEMA 2

Calcule o ângulo entre dois vetores, de módulos iguais a 10 e 15 unidades de comprimento, nos

casos em que a soma desses vetores é (a) 20 unidades de comprimento e (b) 12 unidades de comprimento. Desenhe
uma figura apropriada.
SOLUÇÃO

Seja |a |  10 e |b |  15, e  o ângulo entre os dois vetores que queremos calcular. Vamos escolher o

Notas deAula de Física I

Vetores - Problemas Resolvidos

2

Universidade Federal do Amazonas

eixo Ox na direção e sentido do vetor a, de modo que a x  a  10 e a y  0. Assim
a  10i

|a |  a x  10

b  bxi  byj

|b | 



b 2  b 2  15
x
y

(a) |c | 
(b) |c | 

c  a  b  a x i  a y  b y  j

a x  b x  2  b 2  20
y
a x  b x  2  b 2  12
y

(a)Neste caso, |c |  20 e, portanto,
|a | 

a 2  a 2  a x  10
x
y

|b | 

b 2  b 2  15
x
y

|c | 

a x  b x   a y  b y 



2

2

a x  10, b 2  b 2  225
x
y
a x  b x  2  b 2  a 2  2a x b x  b 2  b 2   400
y
x
x
y

 20

Assim, substituindo os valores na última equação, encontra-se
100  2  10b x  225  400  b x  400 − 325  3, 75...
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