Exercicios modelo de Solow

EXERCICIOS MODELO DE SOLOW
Breve explicação da relação entre função de produção e tecnologia
Ao caracterizarmos o produto da economia em função da tecnologia (A), do capital (K) e do trabalho (L), podemos expressar a função de produção agregada como:
Y = F(A,K,L)
Dessa forma, ao pensarmos como insumos o capital fixo e o trabalho, a forma com que eles se combinam para realizar o produto é determinado pela tecnologia. Em outras palavras, a tecnologia atua como uma influência positiva sobre a produtividade dos demais fatores. Como tal, costuma-se distinguir três formas de como se dá essa influência na produção:
- Harrod-neutra: de acordo com essa especificação, a tecnologia incrementa a produtividade apenas do trabalho ou, também pode-se dizer, ela é poupadora deste fator produtivo. Se assumirmos uma função Cobb-Douglas, essa especificação pode ser expressa da seguinte forma:

- Solow-neutra: nessa especificação, a tecnologia atua sobre a produtividade do capital ou, ainda, diz-se que ela é poupadora deste insumo:

- Hicks-neutra: já de acordo com essa especificação, a tecnologia exerce sua influência sobre ambos os insumos:

De qualquer forma, em qualquer dessas especificações, a tecnologia atua como o cerne do crescimento econômico. Com níveis de capital e trabalho constantes, a única forma de ver seu produto crescer é via progresso tecnológico.
Exercício 1
Utilizando o fato de que a taxa de crescimento de uma variável é igual à derivada de seu logaritmo em relação ao tempo, demonstrar:
a) A taxa de crescimento do produto de duas variáveis é igual à soma das suas taxas de crescimento. Isto é: se Z(t)=X(t)Y(t), logo

b) A taxa de crescimento da razão entre duas variáveis é igual à diferença de suas taxas de crescimento. Isto é se Z(t)=X(t)/Y(t), logo

c) Se , logo,

Exercício 2
Suponha que o modelo de Solow apresenta tecnologia Cobb Douglas, rendimentos de escala constantes e progresso tecnológico