Exercicios inferencia

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EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

1. X1 e X2 são v.a. independentes contínuas com função densidade assim definida: fXi (x) = xi−1 e−x/θ θi x > 0, θ > 0 i = 1, 2.

Considere os seguintes estimadores de θ: 1 T1 (X1 , X2 ) = (X1 + X2 ) 3 e diga qual deles é centrado. (Exame 21/7/1992) 2. De uma população normal com variância σ 2 = 6 extraiu-se uma amostra de 25 elementos. Qual a probabilidadede que a amostra tenha uma variância S 2 : a) maior que 9.1; b) entre 3.10 e 9.10? 3. Seja X1 , X2 , ..., X10 uma amostra aleatória de variáveis independentes, retirada de uma população normal N (µ, σ). Seja Y = 10 (Xi − µ)2 . i=1 a) Calcular a probabilidade de que o intervalo aleatório ponto σ 2 . b) Calcule P [Y > 16 σ 2 ]. 4. Seja X uma população com distribuição normal, de média µ e desviopadrão σ=2. Uma amostra aleatória de dimensão 25 foi extraída desta população, com média x = 78.3. a) Calcule o intervalo de confiança a 99% para µ. b) Qual o erro máximo cometido (a 99% de confiança) ao estimar µ por x =78.3? c) Qual deverá ser a dimensão da amostra para que o erro máximo cometido, a 99% de confiança, ao estimar µ por x , não exceda ǫ =0.1?
Y , Y 20.5 3.25

1 T2 (X1 , X2 ) = (X1 +X2 ) 2

contenha o

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5. Uma fábrica de relógios de alta precisão pretende estudar a fiabilidade da sua produção. É escolhida uma amostra aleatória de 10 relógios (de entre a produção de um dia, e após o habitual controlo de qualidade). Ao fim de um mês, estes relógios são confrontados com um relógio padrão e o seu desvio é registado. Resulta que a média da amostra é de 0,7 segundos e o seudesvio padrão 0,4 segundos. Admitindo que a distribuição dos erros dos relógios (relativamente ao relogio padrão) é normal, construa um intervalo de confiança a 90% para o erro médio. Que pode afirmar com 90% de confiança quanto à fiabilidade dos relógios da fábrica? 6. Suponha que o rendimento de um pé de tomateiro expresso em kg é uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 1 kg.Numa parte da produção foi utilizado um novo fertilizante. Observada uma amostra de 10 pés de tomateiro da parte da produção em que foi utilizado o novo fertilizante obtiveram-se os seguintes resultados: 1.375 1.223 1.773 1.752 0.779 1.407 1.068 1.633 1.201 1.042 expressos em kg. Que decisão se deverá tomar perante estes resultados, face ao novo fertilizante? 7. Depois de fabricado e embalado, aactividade de um certo adubo pode considerarse tendo uma distribuição normal com µ =120 dias e σ =40 dias. Pretende-se enviar um lote de embalagens do referido adubo de modo que a vida média amostral (X) não seja inferior a 118 dias com probabilidade 0.95. Qual o tamanho do lote a enviar? (Exame 10/7/1992) 8. Um processo de determinação do conteúdo de enxofre de um determinado produto forneceu osseguintes resultados: 1.12 1.10 1.08 1.06 1.08 1.14 1.10 1.11 1.14 a) Encontre um intervalo de confiança a 95% para o verdadeiro conteúdo médio de enxofre, apresentando as hipóteses a fazer sobre a população que achar convenientes. b) De acordo com certas normas, o conteúdo de enxofre não deve ter um desvio padrão superior a 0.02. Acha que a amostra recolhida permite afirmar que o produto está dentrodas normas? Justifique convenientemente a resposta.

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c) De uma outra fábrica que produz idêntico produto recolheu-se uma mostra de 20 elementos que proporcionou um desvio padrão de 0.085. Pode concluir que a variabilidade do conteúdo de enxofre é, nesta fábrica, três vezes superior à da outra? 9. O tempo requerido pelos trabalhadores de uma exploração agrícola para executarem uma certatarefa tem uma média de 50 minutos e um desvio padrão de 8 minutos. Para testar o progresso no rendimento dos trabalhadores num dado dia, o empresário decidiu registar os tempos que 60 trabalhadores levaram para executar tal tarefa. a) Qual a probabilidade de que a média da amostra seja superior a 52 minutos? Justifique convenientemente. b) Se a média da amostra for 53 minutos deveria o empresário...
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