Exercicios de probabilidade intermediaria

Escola Nacional de Ciˆencias Estat´ısticas
Disciplina: C´alculo das Probabilidades II - 2015/01
Professora: Renata Souza Bueno

4a Lista de exerc´ıcios

Quest˜ ao 1: Se n bolas s˜ ao selecionados aleatoriamente de uma urna contendo N bolas das quais m s˜ ao brancas, encontre o valor esperado de bolas brancas selecionadas. (Dica: Defina a vari´ avel de interesse como uma soma de vari´ aveis aleat´ orias). Quest˜ ao 2: Suponha que as vari´ aveis aleat´ orias cont´ınuas X e Y tem fun¸c˜ao de densidade conjunta dada por: f (x, y) = 12y 2 , 0 ≤ y ≤ x ≤ 1.
Encontre o valor de E(XY ).
Quest˜
ao 3: Seja uma amostra aleat´ oria, X1 , . . . , Xn , da distribui¸c˜ao Uniforme no intervalo (0, 1). Seja Y1 = min{X1 , . . . , Xn }, e Yn = max{X1 , . . . , Xn }. Encontre E(Y1 ) e E(Yn ).
Quest˜
ao 4: Suponha que trˆes vari´ aveis aleat´ orias X1 , X2 , X3 , formam uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ ao para a qual a m´edia ´e igual a 5. Determine o valor de E(2X1 − 3X2 + X3 − 4).
Quest˜
ao 5: Suponha que trˆes vari´ aveis aleat´ orias X1 , X2 , X3 , formam uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ ao uniforme no intervalo (0, 1). Determine o valor de E (X1 − 2X2 + X3 )2 .
Quest˜
ao 6: Sejam X1 , . . . , Xn vari´ aveis aleat´ orias independentes e identicamente distribu´ıdas com variˆ ancia comum igual a σ 2 . Mostre que Cov(Xi − X, X) = 0.
Quest˜
ao 7: Suponha que uma vari´ avel aleat´ oria X segue uma distribui¸c˜ao Uniforme no intervalo (0, 1); que uma vari´avel Y segue uma distribui¸c˜ ao Uniforme no intervalo (5, 9); e que X e Y s˜ao independentes. Suponha tamb´em que um retˆangulo ´e constru´ıdo para o qual os comprimentos dos dois lados adjacentes s˜ao X e Y . Determine o valor esperado da ´area do retˆ angulo. Quest˜ ao 8: Suponha que uma part´ıcula come¸ca na origem da linha dos reais e se move ao longo da linha com pulos de uma unidade. Para cada pulo, a probabilidade ´e p (0 ≤ p ≤ 1) da part´ıcula pular uma unidade `a esquerda e 1 − p da part´ıcula pular uma